是否有可能有一對聯合分佈不是高斯分佈的高斯隨機變量？
有人在面試時問我這個問題，我回答說他們的聯合分佈總是高斯的。我認為我總是可以用它們的均值、方差和協方差來寫一個二元高斯。我想知道是否存在兩個高斯的聯合概率不是高斯的情況？
雙變量正態分佈是例外，而不是規則！
重要的是要認識到具有正態邊緣的“幾乎所有”聯合分佈不是二元正態分佈。也就是說，具有非雙變量正態的正態邊緣的聯合分佈在某種程度上是“病態的”的普遍觀點有點誤導。
當然，多元正態分佈因其在線性變換下的穩定性而極為重要，因此在應用中受到了廣泛關注。
例子
從一些例子開始很有用。下圖包含六個雙變量分佈的熱圖，所有這些分佈都有標準的正態邊際。頂行的左邊和中間是二元法線，其餘的不是（應該很明顯）。它們將在下面進一步描述。
copula 的裸骨
依賴屬性通常使用copula進行有效分析。雙變量 copula只是單位平方上概率分佈的一個花哨名稱 [0,1]2 具有統一的邊緣。
認為 C(u,v) 是一個二元係詞。然後，立即從上面，我們知道 C(u,v)≥0 , C(u,1)=u 和 C(1,v)=v ， 例如。
我們可以通過雙變量 copula 的簡單變換，在歐幾里得平面上構造帶有*預先指定邊際的雙變量隨機變量。*讓 F1 和 F2 為一對隨機變量規定邊際分佈 (X,Y) . 那麼，如果 C(u,v) 是一個雙變量 copula， F(x,y)=C(F1(x),F2(y))
是具有邊際的二元分佈函數 F1 和 F2 . 要查看最後一個事實，請注意 \renewcommand{\Pr}{\mathbb P}
\Pr(X \leq x) = \Pr(X \leq x, Y < \infty) = C(F_1(x), F_2(\infty)) = C(F_1(x),1) = F_1(x) >.同樣的論點適用於 F2 .對於連續 F1 和 F2 ，Sklar 的定理斷言逆向暗示唯一性。也就是說，給定一個二元分佈 F(x,y) 具有連續邊緣 F1 , F2 ，對應的copula是唯一的（在適當的範圍空間上）。
雙變量正態是異常的
Sklar 定理告訴我們（本質上）只有一個 copula 可以產生二元正態分佈。這就是，恰當地命名為高斯 copula，其密度為 [0,1]2 c_\rho(u,v) := \frac{\partial^2}{\partial u , \partial v} C_\rho(u,v) = \frac{\varphi_{2,\rho}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))}{\varphi(\Phi^{-1}(u)) \varphi(\Phi^{-1}(v))} >,
其中分子是具有相關性的二元正態分佈 ρ 評價為 Φ−1(u) 和 Φ−1(v) .但是，還有很多其他的 copula，通過使用上一節中描述的變換，它們都將給出具有正態邊緣的二元分佈，這不是二元正態分佈。
示例的一些細節
請注意，如果 C(u,v) 是具有密度的任意copula c(u,v) , 變換下具有標準正態邊際的相應二元密度 F(x,y)=C(Φ(x),Φ(y)) 是 f(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) c(\Phi(x), \Phi(y)) > .
請注意，通過在上述方程中應用高斯 copula，我們恢復了二元法線密度。但是，對於任何其他選擇 c(u,v) ， 我們不會。
圖中的示例構造如下（遍歷每一行，一次一列）：
- 具有獨立分量的雙變量正態。
- 雙變量正態與 ρ=−0.4 .
- Dilip Sarwate的這個答案中給出的例子。很容易看出是由係詞誘導的 C(u,v) 有密度 c(u,v)=2(1(0≤u≤1/2,0≤v≤1/2)+1(1/2<u≤1,1/2<v≤1)) .
- 從帶有參數的Frank copula生成 θ=2 .
- 從帶有參數的Clayton copula生成 θ=1 .
- 由具有參數的 Clayton copula 的不對稱修改生成 θ=3 .
