方向向量的餘弦矩/mgf？

誰能建議我如何計算兩個高斯隨機向量的餘弦的二階矩（或整矩生成函數）, 每個分佈為，相互獨立？IE，以下隨機變量的矩

最接近的問題是兩個高斯隨機向量的內積的矩生成函數，它為內積推導出 MGF。mathoverflow也有這個答案，它將這個問題與樣本協方差矩陣的特徵值分佈聯繫起來，但我沒有立即看到如何使用這些來計算第二時刻。

我懷疑二階矩與特徵值的半範數成比例因為我通過 2 維的代數運算以及猜測和檢查的 3 維得到了這個結果。對於特徵值加起來為 1，第二個時刻是：

使用以下進行數值檢查

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
 x := {x1, x2, x3};
 y := {y1, y2, y3};
 normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
     {a, 0, 0},
     {0, b, 0},
     {0, 0, c}
    } )];
 vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
 NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

 val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

檢查 4 個變量的公式（在數值範圍內）：

val1[a_, b_, c_, 
 d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
 x := {x1, x2, x3, x4};
 y := {y1, y2, y3, y4};
 normal := 
  MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
    0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
 vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
 NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

嘿雅羅斯拉夫，你真的不必急於接受我在 MO 上的回答，非常歡迎詢問更多細節:)。

既然你用 3-dim 重新表述了這個問題，我可以確切地看到你想要做什麼。在 MO 帖子中，我認為您只需要計算兩個隨機變量之間的最​​大餘弦值。現在問題似乎更棘手了。

**首先，**我們計算歸一化的高斯，這不是一項簡單的工作，因為它實際上有一個名稱“投影正態分佈”，因為我們可以重寫多元正態密度就其極坐標而言. 邊際密度為可以在

一個重要的例子是具有二元正態分佈, 其中據說具有投影正態（或角高斯或偏移正態）分佈。[Mardia&Peter]p.46

在這一步中，我們可以獲得分佈為了，因此它們的聯合密度由於獨立。至於投影正態分佈的具體密度函數，請參見 [Mardia&Peter] 第 10 章或 [2] 等式 (4) 或 [1] 。（請注意，在 [2] 中，它們還假設了一種特殊形式的協方差矩陣)

**其次，**由於我們已經獲得了它們的聯合密度，它們的內積可以很容易地使用變換公式導出

. 另見[3]。 只要我們計算了密度，二階矩只是一個積分問題。

參考

[Mardia&Peter]Mardia、Kanti V. 和 Peter E. Jupp。方向統計。卷。494. 約翰威利父子公司，2009 年。

[1] 王方波和艾倫 E. Gelfand。“一般投影正態分佈下的方向數據分析。” 統計方法 10.1 (2013): 113-127。

[2]Hernandez-Stumpfhauser、Daniel、F. Jay Breidt 和 Mark J. van der Woerd。“任意維度的一般投影正態分佈：建模和貝葉斯推理。” 貝葉斯分析（2016）。 https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3]兩個高斯隨機向量內積的矩生成函數

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/263896