信號提取問題：獨立正態RV總和中一項的條件期望

我有一個讓我難過的簡單統計問題。我有兩個獨立正態分佈的隨機變量 X 和 Y：

X ~ N(0, sigmaX)
Y ~ N(0, sigmaY).

我觀察這兩個變量的總和，Z = X+Y，並希望在給定總和的情況下對 X 進行條件期望。一位同事說：“啊，是的，經典的信號提取問題。解決方案是：”

E[X|X+Y] = (X + Y) * sigmaX / (sigmaX + sigmaY)

這看起來是對的，所以我感謝他，並認為我在家裡解決了這個問題。不過，看來我在這裡有點生疏了。我可以口頭推理為什麼這是真的，但不能寫下數學。這是真的數學原因是什麼？

謝謝大家！

如果和是具有方差的零均值獨立正態隨機變量 和分別，那麼和是零均值聯合正態變量，其中和使得相關係數為

. 條件分佈給定 是正常的，並且由於所涉及的變量的均值均為零，因此條件均值簡化為

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/17463