伽馬分佈與正態分佈的關係
我最近發現有必要為均值為 0 的正態隨機變量的平方推導 pdf。無論出於何種原因，我選擇不事先對方差進行歸一化。如果我正確地做到了，那麼這個pdf如下：
我注意到這實際上只是伽馬分佈的參數化：
然後，從兩個伽瑪之和（具有相同的尺度參數）等於另一個伽瑪的事實來看，伽瑪等於平方正態隨機變量。
這讓我有點意外。儘管我知道分佈——標準正態 RV平方和的分佈——是伽瑪的一個特例，我沒有意識到伽瑪本質上只是一個泛化，允許任何方差的正態隨機變量的總和。這也導致了我以前沒有遇到過的其他特徵，例如指數分佈等於兩個平方正態分佈的總和。
這對我來說有點神秘。以我上面概述的方式，正態分佈是推導伽馬分佈的基礎嗎？我檢查的大多數資源都沒有提到這兩個分佈本質上是這樣相關的，或者甚至就此而言描述了伽馬是如何得出的。這讓我覺得一些較低層次的事實在起作用，我只是以一種複雜的方式強調了這些事實？
正如 Sarwate 教授的評論所指出的，平方正態和卡方之間的關係是一個廣為傳播的事實——因為卡方只是 Gamma 分佈的一個特例，這也是一個事實：
從 Gamma 的縮放屬性得出的最後一個等式。
至於與指數的關係，準確地說，它是兩個均方的零均值法線的總和，每個均值法線按另一個的方差縮放，導致指數分佈：
但是，對於“使它們成為等待時間的良好模型”的兩個零均值法線之和存在“特殊”或更深層次的懷疑是沒有根據的：首先，指數分佈有什麼特別之處？它是“等待時間”的好模型嗎？當然是無記憶，但這裡有什麼“更深”的東西，或者只是指數分佈函數的簡單函數形式，以及? 獨特的屬性散佈在整個數學中，而且大多數時候，它們並不反映一些“更深層次的直覺”或“結構”——它們只是存在（謝天謝地）。
其次，變量的平方與它的水平幾乎沒有關係。只考慮在，說，:
…或繪製標準正態密度與卡方密度的關係圖：它們反映並代表完全不同的隨機行為，即使它們密切相關，因為第二個是變量的密度，它是第一個的平方。法線可能是我們為模擬隨機行為而開發的數學系統的一個非常重要的支柱——但一旦你把它平方，它就變成了完全不同的東西。
