標準正態分佈與 t 分佈
給定一個 IID 正態分佈樣本為了小而平均, 標準差， 樣本平均值和样本標準差（無偏估計形式）。我明白那個
但我無法將其與以下事實相協調
由於-分佈類似於標準正態分佈，但具有更高的方差（更小的峰值和更寬的尾部），這似乎表明樣本標準偏差系統地低估了總體標準差，使其實際上是一個有偏差的估計量。
實際上 $ s $ 不需要係統地低估 $ \sigma $ ; 即使那不是真的，這也可能發生。
照原樣， $ s $ 偏向於 $ \sigma $ （事實上 $ s^2 $ 是公正的 $ \sigma^2 $ 意思是 $ s $ 會偏向於 $ \sigma $ ，由於 Jensen 的不等式*，但這不是那裡發生的核心問題。
- Jensen 不等式
如果 $ g $ 是一個凸函數， $ g\left(\text{E}[X]\right) \leq \text{E}\left[g(X)\right] $ 只有當 $ X $ 是恆定的或 $ g $ 是線性的。
現在 $ g(X)=-\sqrt{X} $ 是凸的，
所以 $ -\sqrt{\text{E}[X]} < \text{E}(-\sqrt{X}) $ ， IE $ \sqrt{\text{E}[X]} > \text{E}(\sqrt{X}), $ , 暗示 $ \sigma>E(s) $ 如果隨機變量 $ s $ 不是一個固定常數。
編輯：一個不調用 Jensen 的更簡單的演示——
假設基礎變量的分佈有 $ \sigma>0 $ .
注意 $ \text{Var}(s) = E(s^2)-E(s)^2 $ 這種方差將始終為正 $ \sigma>0 $ .
因此 $ E(s)^2 = E(s^2)-\text{Var}(s) < \sigma^2 $ ， 所以 $ E(s)<\sigma $ .
那麼主要問題是什麼？
讓 $ Z=\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $
請注意，您正在處理 $ t=Z\cdot\frac{\sigma}{s} $ .
那個倒置 $ s $ 很重要。所以對方差的影響不是 $ s $ 小於 $ \sigma $ 平均而言（雖然是，非常輕微），但是否 $ 1/s $ 大於 $ 1/\sigma $ 平均而言（這兩件事不是一回事）。
它更大，在更大程度上比它的倒數更小。
也就是說 $ E(1/X)\neq 1/E(X) $ ; 事實上，根據 Jensen 不等式：
$ g(X) = 1/x $ 是凸的，所以如果 $ X $ 不是恆定的，
$ 1/\left(\text{E}[X]\right) < \text{E}\left[1/X\right] $
例如，考慮大小為 10 的正常樣本； $ s $ 比大約小 2.7% $ \sigma $ 平均而言，但 $ 1/s $ 比大約大9.4% $ 1/\sigma $ 一般。所以即使在 n=10 我們做出了我們的估計 $ \sigma $ 大 2.7 個百分點** 所以 $ E(\widehat\sigma)=\sigma $ ， 相應的 $ t=Z\cdot\frac{\sigma}{\widehat\sigma} $ 不會有單位方差 - 它仍然會比 1 大一點。
**（在其他 $ n $ 當然調整會有所不同）
由於 t 分佈類似於標準正態分佈，但具有更高的方差（更小的峰值和更寬的尾部）
如果您根據點差的差異進行調整，則峰值會更高。