標準正態分佈與 t 分佈
給定一個 IID 正態分佈樣本為了小而平均, 標準差， 樣本平均值和样本標準差（無偏估計形式）。我明白那個
但我無法將其與以下事實相協調
由於-分佈類似於標準正態分佈，但具有更高的方差（更小的峰值和更寬的尾部），這似乎表明樣本標準偏差系統地低估了總體標準差，使其實際上是一個有偏差的估計量。
實際上 s 不需要係統地低估 σ ; 即使那不是真的，這也可能發生。
照原樣， s 偏向於 σ （事實上 s2 是公正的 σ2 意思是 s 會偏向於 σ ，由於 Jensen 的不等式*，但這不是那裡發生的核心問題。
- Jensen 不等式
如果 g 是一個凸函數， g(E[X])≤E[g(X)] 只有當 X 是恆定的或 g 是線性的。
現在 g(X)=−√X 是凸的，
所以 −√E[X]<E(−√X) ， IE √E[X]>E(√X), , 暗示 σ>E(s) 如果隨機變量 s 不是一個固定常數。
編輯：一個不調用 Jensen 的更簡單的演示——
假設基礎變量的分佈有 σ>0 .
注意 Var(s)=E(s2)−E(s)2 這種方差將始終為正 σ>0 .
因此 E(s)2=E(s2)−Var(s)<σ2 ， 所以 E(s)<σ .
那麼主要問題是什麼？
讓 Z=¯X−μσ√n
請注意，您正在處理 t=Z⋅σs .
那個倒置 s 很重要。所以對方差的影響不是 s 小於 σ 平均而言（雖然是，非常輕微），但是否 1/s 大於 1/σ 平均而言（這兩件事不是一回事）。
它更大，在更大程度上比它的倒數更小。
也就是說 E(1/X)≠1/E(X) ; 事實上，根據 Jensen 不等式：
g(X)=1/x 是凸的，所以如果 X 不是恆定的，
1/(E[X])<E[1/X]
例如，考慮大小為 10 的正常樣本； s 比大約小 2.7% σ 平均而言，但 1/s 比大約大9.4% 1/σ 一般。所以即使在 n=10 我們做出了我們的估計 σ 大 2.7 個百分點** 所以 E(ˆσ)=σ ， 相應的 t=Z⋅σˆσ 不會有單位方差 - 它仍然會比 1 大一點。
**（在其他 n 當然調整會有所不同）
由於 t 分佈類似於標準正態分佈，但具有更高的方差（更小的峰值和更寬的尾部）
如果您根據點差的差異進行調整，則峰值會更高。