誰創建了第一個標準正常表？
我即將在我的介紹性統計課中介紹標準正態表，這讓我想知道：誰創建了第一個標準正態表？在計算機出現之前，他們是如何做到的？想到有人用蠻力手動計算一千個黎曼和，我不寒而栗。
拉普拉斯第一個認識到製表的必要性，提出了近似值：
G(x)=∫∞xe−t2dt\[2ex]=1x−12x3+1⋅34x5−1⋅3⋅58x7+1⋅3⋅5⋅716x9+⋯
正態分佈的第一個現代表後來由法國天文學家克里斯蒂安·克蘭普（Christian Kramp）在*天文學和地球折射分析中建立（由羅爾系中央學院化學和實驗物理學教授 Citizen Kramp 於 1799 年）*。來自與正態分佈相關的表格：簡史作者：Herbert A. David 資料來源：美國統計學家，卷。59，第 4 期（2005 年 11 月），第 4 頁。309-311：
雄心勃勃地，克蘭普給出了八進制 ( 8 D) 最多的表格 x=1.24, 9 D到 1.50, 10 D到 1.99, 和 11 D到 3.00 以及插值所需的差異。寫出前六個導數 G(x), 他只是使用泰勒級數展開 G(x+h) 關於 G(x), 和 h=.01, 直到任期 h3. 這使他能夠一步一步地從 x=0 到 x=h,2h,3h,…, 乘法時 h,e−x2 經過1−hx+13(2x2−1)h2−16(2x3−3x)h3.
因此，在 x=0 該產品減少到 .01(1−13×.0001)=.00999967,所以在 G(.01)=.88622692−.00999967=.87622725.
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但是……他能準確到什麼程度？好，我們來 2.97 舉個例子：
驚人！
讓我們繼續討論高斯 pdf 的現代（歸一化）表達式：
的pdf N(0,1) 是：
fX(X=x)=1√2π,e−x22=1√2π,e−(x√2)2=1√2π,e−(z)2
在哪裡 z=x√2 . 因此， x=z×√2 .
所以讓我們去 R，然後查找 PZ(Z>z=2.97) …好吧，沒那麼快。首先我們必須記住，當指數函數中有一個常數乘以指數時 eax ，積分將除以該指數： 1/a . 由於我們的目標是複制舊表中的結果，我們實際上是在乘以 x 經過 √2 ，它必須出現在分母中。
此外，Christian Kramp 沒有進行歸一化，因此我們必須相應地修正 R 給出的結果，乘以 √2π . 最終的修正將如下所示：
√2π√2,P(X>x)=√π,,P(X>x)
在上述情況下， z=2.97 和 x=z×√2=4.200214 . 現在讓我們去R：
(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F)) [1] 0.00002363235e-05極好的！
讓我們去桌子的頂端找點樂子吧，說 0.06 …
z = 0.06 (x = z * sqrt(2)) (R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F)) [1] 0.8262988克蘭普怎麼說？ 0.82629882 .
很近…
問題是……到底有多近？在收到所有贊成票之後，我不能讓實際答案懸而未決。問題是我嘗試過的所有光學字符識別 (OCR) 應用程序都令人難以置信——如果你看過原版，這並不奇怪。因此，當我親自在他的Table Première第一欄中輸入每個數字時，我學會了欣賞 Christian Kramp 的堅韌不拔的工作。
在@Glen_b 的一些寶貴幫助之後，現在它可能非常準確，並且可以在此 GitHub 鏈接中的 R 控制台上複製和粘貼。
以下是對他計算準確性的分析。振作起來…
- [R] 值與 Kramp 近似值之間的絕對累積差異：
0.000001200764 - 在……的進程中 301 計算，他設法累積了大約 1 百萬分之一！
- 平均絕對誤差(MAE)
mean(abs(difference))，或difference = R - kramp：0.000000003989249 - 他設法使一個荒謬的 3 平均十億分之一的錯誤！
在他的計算與 [R] 相比差異最大的條目中，第一個不同的小數位值位於第八位（百萬分之一）。平均（中位數）他的第一個“錯誤”在十進制數字中（十億分之一！）。而且，儘管他在任何情況下都沒有完全同意[R]，但最接近的條目直到十三個數字條目才出現分歧。
- 平均相對差或
mean(abs(R - kramp)) / mean(R)（與 相同all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)）：0.00000002380406
- 均方根誤差(RMSE)或偏差（給大錯誤更多的權重），計算如下
sqrt(mean(difference^2))：0.000000007283493
如果您找到 Chistian Kramp 的圖片或肖像，請編輯此帖子並將其放在此處。
