為什麼隨著樣本量的增加 t 分佈會變得更正態？
根據維基百科，我知道當樣本是來自正態分佈總體的獨立同分佈觀察時，t 分佈是 t 值的抽樣分佈。但是，我不直觀地理解為什麼這會導致 t 分佈的形狀從肥尾變為幾乎完全正常。
我知道，如果您從正態分佈中抽樣，那麼如果您抽取一個大樣本，它將類似於該分佈，但我不明白為什麼它以它的肥尾形狀開始。
我將嘗試給出一個直觀的解釋。
t-statistic* 有一個分子和一個分母。例如，單樣本 t 檢驗中的統計量是
*（有幾個，但希望這個討論足夠籠統，足以涵蓋您所詢問的內容）
在這些假設下，分子具有均值為 0 和一些未知標準差的正態分佈。
在同一組假設下，分母是對分子分佈的標準差的估計（分子上統計量的標準差）。它與分子無關。它的平方是卡方隨機變量除以其自由度（也是 t 分佈的 df）乘以.
當自由度較小時，分母往往是相當右偏的。它很有可能低於其平均值，並且相當有可能非常小。同時，它也有可能比其平均值大得多。
在正態性假設下，分子和分母是獨立的。因此，如果我們從該 t 統計量的分佈中隨機抽取，我們將得到一個正態隨機數除以從平均約為 1 的右偏分佈中隨機選擇的第二個值。
- 不考慮正常術語
因為它在分母上，所以分母分佈中的小值會產生非常大的 t 值。分母的右偏使 t 統計量重尾。分佈的右尾，當在分母上時，使 t 分佈的峰值比具有與t相同標準差的正態分佈更尖銳。
然而，隨著自由度變大，分佈變得更加正常，並且在其均值附近更加“緊密”。
因此，除以分母對分子分佈形狀的影響隨著自由度的增加而減小。
最終——正如斯盧茨基定理可能向我們暗示的那樣——分母的影響變得更像是除以一個常數，並且 t 統計量的分佈非常接近正態分佈。
根據分母的倒數考慮
whuber 在評論中建議，看看分母的倒數可能更有啟發性。也就是說，我們可以將 t 統計量寫為分子（正常）乘以分母倒數（右偏）。
例如，我們上面的 one-sample-t 統計量將變為：
現在考慮原始的總體標準差,. 我們可以乘以它並除以它，如下所示：
第一項是標準正態。第二項（縮放的反卡方隨機變量的平方根）然後通過大於或小於 1 的值縮放標準正態，“將其展開”。
在正態假設下，產品中的兩項是獨立的。因此，如果我們從這個 t 統計量的分佈中隨機抽取，我們就有一個正態隨機數（乘積中的第一項）乘以來自右偏分佈的第二個隨機選擇的值（不考慮正態項），即 ‘通常在 1 左右。
當 df 較大時，該值往往非常接近 1，但當 df 較小時，它相當偏斜且散佈很大，該縮放因子的右大尾部使尾部相當肥：
