單向和雙向固定效應的區別及其估計
考慮一個基本的線性未觀察效應面板數據模型，例如：
向量在哪裡包含自變量和是一個錯誤術語。個人數量是. 假設未觀察到的個體效應可能與（固定效應假設）。 **第一個問題：“單向”和“雙向”模型有什麼區別？**Wooldridge (2006 & 2010) 從不使用這個術語。我假設單向模型不包括時間效應，例如：
但雙向模型還包括時間效應：
根據 Frisch-Waugh-Lovell 定理，組內估計量和最小二乘虛擬變量 (LSDV) 估計量都為等式 (1) 產生相同的係數。
這引出了我的**第二個問題：你將如何估計方程（2）？**你能先包括時間假人（應該是?) 然後在內部估計器或 LSDV 估計器之間進行選擇？ 這個答案建議首先使用內部轉換，然後估計包括虛擬變量的模型，我覺得很困惑。
參考文獻：
Woodridge, JM (2006)。計量經濟學導論（第 3 版）。湯姆森/西南。
伍德里奇，JM（2010）。橫截面和麵板數據的計量經濟學分析（第 2 版）。麻省理工學院出版社。
編輯：我看了一些講義（這裡、這里和這裡），似乎雙向模型包括有時稱為“時間（固定）效應”的東西（見在等式（2）中），正如我所假設的。
我的理解是，a）可以將某種不同的內部轉換應用於雙向模型，或者 b）一維（時間或個人）包含假人，然後轉換中的“正常”（減去手段）用於應用另一個維度。
根據估計程序，由於自由度不同，必須校正標準誤差。此外，程序 a) 似乎只對平衡面板有效。我還沒有找到教科書參考。
未觀察到的效應模型建模為：
在哪裡
單向誤差模型假設而雙向誤差允許這就是第一個問題的答案。
如果不對研究的錯誤結構或目的進行更多假設，就無法回答第二個問題。使用 Wooldridge (2010) 第 10 章和第 11 章，概括每個假設以涵蓋時間誤差結構。例如，在考慮 POLS 時，關鍵假設是. 本章總結為滿足以下條件：
但是，如果不假設，即雙向誤差模型，必須滿足第三個條件才能使 POLS 估計量保持一致：
等等。 在估計固定效應的情況下，可以使用 LSDV（包括面板 ID 和時間 ID 的指標），但維度可能很快變得不可行。一種替代方法是在估計器中使用單向誤差並包括時間虛擬變量，例如通常使用不允許雙向誤差模型（如 Stata）的軟件所做的時間虛擬變量。第三種也是最有效的方法是使用估計器內的雙向誤差來估計它。
這種方法被編碼在幾個統計包中，例如 R 包plm並正確調整自由度以包含與估計器中的單向誤差相比的 T - 1 個附加參數。大多數二錯誤方式模型估計器不限於平衡面板（只有少數）。對於短面板，在具有時間虛擬變量的估計器內運行單向誤差是可行的。作為旁注，即使人們獲得了時間效應的估計值，重要的是要注意，與單向誤差模型的 LSDV 固定效應一樣，隨著面板數量和長度的估計值增加，這些並不一致。 我推薦 Baltagi (2013) 教科書對單向和雙向誤差模型的估計量進行了相當全面的解釋。
參考：
Baltagi, Badi H. 2013。面板數據的計量經濟學分析。第五版。西薩塞克斯郡奇切斯特：John Wiley & Sons, Inc. isbn：978-1-118-67232-7。
羊角麵包、伊夫和喬瓦尼·米洛。2008.“R 中的面板數據計量經濟學：plm 包”。統計軟件雜誌 27 (2)。doi:10.18637/jss.v027.i02。
斯塔塔公司 2017. Stata 15 基礎參考手冊。德克薩斯州大學城：Stata Press。
Wooldridge, Jeffrey M. 2010。橫截面和麵板數據的計量經濟學分析。Kindle版。麻省理工學院出版社。國際標準書號：978-0-262-23258-8。