自舉過濾器/粒子過濾器算法（了解）

September 28, 2016

我真的對引導過濾器的工作原理缺乏了解。我大致了解這些概念，但我無法掌握某些細節。這個問題是讓我清理混亂。在這裡，我將使用來自 doucet 參考的流行過濾算法（到目前為止，我認為這是最簡單的參考）。首先讓我告訴你，我的問題是了解哪些分佈是已知的，哪些是未知的。

這些是我的問題：

2)、什麼是分佈? 這種分佈是否已知？我們是否知道所有人的這種分佈? 如果是這樣，但是如果我們不能從中取樣怎麼辦？有趣的是，他們將此稱為重要性抽樣步驟，但我沒有看到提案分佈。

同樣在 2) 中是一個已知的分佈？“標準化重要性權重意味著? 代字號是什麼和意思是？這是否分別意味著未重新採樣或未標準化？

如果有人能給出一個簡單的玩具示例，使用眾所周知的發行版來使用這個引導過濾器，我將不勝感激。我不清楚引導過濾器的最終目標。

那是狀態的轉移密度（)，這是您的模型的一部分，因此是已知的。您確實需要在基本算法中對其進行採樣，但可以使用近似值。是這種情況下的提案分佈。使用它是因為分佈一般是不容易處理的。

是的，這就是觀測密度，它也是模型的一部分，因此是已知的。是的，這就是標準化的意思。波浪號用於表示“初步”之類的東西：是在重新採樣之前，和是在重整化之前。我猜想這樣做是為了使符號在沒有重採樣步驟的算法變體之間匹配（即始終是最終估計）。

自舉過濾器的最終目標是估計條件分佈的序列（不可觀察的狀態在，給定所有觀察結果，直到）。

考慮簡單的模型：

這是用噪聲觀察到的隨機遊走（你只觀察到，不是）。你可以計算完全使用卡爾曼濾波器，但我們將根據您的要求使用引導濾波器。我們可以根據狀態轉移分佈、初始狀態分佈和觀察分佈（按此順序）重述模型，這對粒子濾波器更有用：

應用算法：

初始化。我們生成粒子（獨立地）根據.

我們通過生成獨立地向前模擬每個粒子, 對於每個.

然後我們計算可能性，在哪裡是具有平均值的正態密度和方差（我們的觀察密度）。我們希望給更有可能產生觀察的粒子更多的權重我們記錄的。我們將這些權重歸一化，使它們總和為 1。 3. 我們根據這些權重重新採樣粒子. 注意一個粒子是一個完整的路徑（即不只是重新採樣最後一點，這是整個事情，他們表示為）。

回到第 2 步，繼續使用粒子的重新採樣版本，直到我們處理完整個系列。

R中的一個實現如下：
# Simulate some fake data
set.seed(123)

tau <- 100
x <- cumsum(rnorm(tau))
y <- x + rnorm(tau)

# Begin particle filter
N <- 1000
x.pf <- matrix(rep(NA,(tau+1)*N),nrow=tau+1)

# 1. Initialize
x.pf[1, ] <- rnorm(N)
m <- rep(NA,tau)
for (t in 2:(tau+1)) {
 # 2. Importance sampling step
 x.pf[t, ] <- x.pf[t-1,] + rnorm(N)

 #Likelihood
 w.tilde <- dnorm(y[t-1], mean=x.pf[t, ])

 #Normalize
 w <- w.tilde/sum(w.tilde)

 # NOTE: This step isn't part of your description of the algorithm, but I'm going to compute the mean
 # of the particle distribution here to compare with the Kalman filter later. Note that this is done BEFORE resampling
 m[t-1] <- sum(w*x.pf[t,])

 # 3. Resampling step
 s <- sample(1:N, size=N, replace=TRUE, prob=w)

 # Note: resample WHOLE path, not just x.pf[t, ]
 x.pf <- x.pf[, s]
}

plot(x)
lines(m,col="red")

# Let's do the Kalman filter to compare
library(dlm)
lines(dropFirst(dlmFilter(y, dlmModPoly(order=1))$m), col="blue")

legend("topleft", legend = c("Actual x", "Particle filter (mean)", "Kalman filter"), col=c("black","red","blue"), lwd=1)
結果圖：

Doucet 和 Johansen 提供的一個有用的教程，請參見此處。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/237468

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