Pca
形成矩形的二維數據的第一主成分？
在二維空間中形成“填充”矩形的點的第一主成分是什麼？
它是對角線之一嗎？或者前兩個主要成分基本上是矩形的邊？
想像一下數據點填充坐標系中心的二維矩形，其邊沿坐標軸定向：從到沿著-軸，並從到沿著-軸。
上的投影是具有方差的均勻分佈. 上的投影也是有方差的均勻分佈. 自從和顯然不相關（如果這不明顯，請問自己相關性應該是正的還是負的？…由於對稱性它只能為零），它們之間的協方差為零。這產生協方差矩陣
PCA 的任務是對協方差矩陣進行對角化。但是這個已經是對角線了！這意味著不需要旋轉，並且-軸和-axis 本身就是主軸。如果例如，那麼-axis 是第一台 PC。 這可能有點違反直覺：似乎對角線上的投影應該比長邊上的投影具有更大的方差；但事實上並非如此。
獎勵：賈尼別科夫效應
您的意思似乎是 3D 長方體而不是 2D 矩形。論點當然保持不變：協方差矩陣是但仍然是對角線，主軸是坐標軸。
順便說一句，在力學中，關於具有三個不同慣性矩的旋轉固體（這是方差的力學模擬）存在一種奇怪的效果。事實證明，繞轉動慣量最大和最小的軸的轉動是穩定的，但繞轉動慣量中間的軸轉動是不穩定的。此外，一個旋轉的物體會經歷突然的“翻轉”，這就是所謂的賈尼別科夫效應——在一位俄羅斯宇航員在太空中觀察到它之後。旋轉一本書或乒乓球拍時，可以很容易地觀察到它。請參閱 mathoverflow 和physics.SE 上的以下精彩主題以及這些視頻：