負二項式參數可以像泊鬆一樣處理嗎？
我有一個計數過程，我想用泊松過程建模。每 30 分鐘測量一次數據，通過泊松分佈，我可以使用 lambda 的擬合值輕鬆測量給定事件計數在不同時間段內異常的概率，即“是我們在30 分鐘異常？最後一個小時呢？我們在過去 1.5 小時內看到的事件數量是否異常？”等。
問題是我的數據過於分散，並且肯定可以用負二項分佈很好地描述。我選擇使用參數 $ (\mu, \alpha) $ 因為這就是 PyMC3 使用的，在哪裡 $ \mu $ 等效於泊松分佈中的 lambda。
有沒有辦法以與泊松率參數相同的方式利用負二項式參數，我可以查看某個時間段 t 內的事件計數是否異常（我可以將 t 擴展到不同的時間段）？
我在 PyMC3 中放置了一些代碼來執行此任務，因為您在問題中提到了它。您似乎已經熟悉的第一部分是擬合模型以獲得參數的後驗分佈：
import pymc3 as pm import numpy as np # generating simulated data data for a week data = pm.NegativeBinomial.dist(mu=3, alpha=1).random(size=7*24*2) # defining the model and sampling (MCMC) with pm.Model() as model: alpha = pm.Exponential("alpha", 2.0) mean = pm.Exponential("mean", 0.2) obs_data = pm.NegativeBinomial("obs_data", mu=mean, alpha=alpha, observed=data) trace = pm.sample() # plotting the posterior pm.traceplot(trace) pm.plot_posterior(trace)現在我們來看看你似乎在苦苦掙扎的部分。我們可以使用這個很好的屬性：當兩個隨機變量， $ X $ 和 $ Y $ 具有相同的過度離散參數的負二項分佈，則 $ X+Y $ 也有負二項分佈，均值 $ \mathbb E[X]+\mathbb E[Y] $ 和相同的過度分散參數 $ X $ 和 $ Y $ . 您可以在此處找到此屬性的證明。
假設負二項式參數是固定的（正式地，假設您的隨機過程屬於Lévy 過程的類，其中包括泊松過程），這意味著如果您想知道一小時內事件數的分佈或者一整天，你只需要調整平均值，就像你對泊松過程所做的那樣。
例如，要找出在一天內找到 200 多個事件的非典型情況，我們可以使用以下命令：
np.mean(pm.NegativeBinomial.dist(mu=48*trace["mean"], alpha=trace["alpha"]).random(10**4)>200)讓我們稍微分解一下這行代碼。當我們使用 時
pm.NegativeBinomial.dist(mu=..., alpha=...)，我們使用一組特定的參數調用負二項式的 PyMC3 實現（我們也可以使用 Numpy 實現，但它們的參數化方式不同，因此堅持使用 PyMC3 不太容易出錯）。然後，我們使用從後驗中採樣的參數：
alpha=trace["alpha"]過度離散和mu=48*trace["mean"]均值（我們乘以 48 以調整該均值以反映 24 小時而不是半小時）。最後，我們從這個分佈中採樣許多實例，並將它們與我們感興趣的值 (
.random(10**4)>200) 進行比較，然後從我們的負二項式過程中找到新樣本超過它的概率（通過應用於np.mean結果布爾數組）。結果是您的模型每天生成 200 個或更多事件的概率。這裡有一些警告：
- 如果您的模型允許過度分散隨時間變化，那麼這些都不起作用
- 如果您的模型允許泊松率作為某些函數隨時間變化 $ \lambda(t) $ ，這將不得不有所調整。您不必將比率乘以某個數字，而是必須積分 $ \lambda(t) $ ，使這有點複雜。
編輯： 我正在編輯以解決@J 的評論，詢問有關星期幾的影響。因此，讓我們首先生成一些具有強烈星期幾影響的數據：
# how many weeks of data are available? WEEKS = 5 # how many observations are available per day? OBS_PER_DAY = 24*2 data = pm.NegativeBinomial.dist(mu=[2,3,1,2,5,9,7]*5, alpha=1).random(size=OBS_PER_DAY).T.flatten()現在，我們可以解決這個問題的一種方法是使用 7 種不同的方法，而不是單一的方法。PyMC3 模型可以寫成：
with pm.Model() as model: alpha = pm.Exponential("alpha", 2.0) mean = pm.Exponential("mean", 0.2, shape=7) day = np.arange(WEEKS*7*OBS_PER_DAY)//OBS_PER_DAY%7 obs_data = pm.NegativeBinomial("obs_data", mu=mean[day], alpha=alpha, observed=data) trace = pm.sample()這裡的變量將
day每個觀察結果與它來自的星期幾相關聯。現在，我們有一個模型可以考慮星期幾的效果。我們如何檢查星期五有超過 500 個事件是否非典型？該過程類似於同質情況：friday = 4 # assuming the week starts on monday np.mean(pm.NegativeBinomial.dist(mu=48*trace["mean"][:,friday], alpha=trace["alpha"]).random(10**4)>500)好的，現在如果我們要檢查一周內的 3000 個事件是否是非典型事件怎麼辦？一周的預期事件數是
48*sum(mean)，所以我們這樣做：np.mean(pm.NegativeBinomial.dist(mu=48*trace["mean"].sum(axis=1), alpha=trace["alpha"]).random(10**4)>3000)請注意，我們不需要任何花哨的集成，因為這種星期幾的效果使 $ \lambda(t) $ 分段常數函數。（萬歲！）。當函數形式有點複雜時，您不需要積分泊松率：例如，如果 $ \lambda(t) $ 是多項式、指數、從高斯過程中採樣的函數等。不幸的是，似乎很難在網上找到關於這個特定主題的資源……也許我會在這個答案中添加一些解決這個問題的東西找時間。
希望我有幫助！