以總數為條件，負二項式的分佈是什麼
如果是 iid 負二項式，那麼它的分佈是什麼給定
?
是固定的。
如果那麼是泊松，以總數為條件，是多項式。我不確定負二項式是否正確，因為它是混合泊松。
如果您想知道，這不是作業問題。
對不起，遲到的答案，但這也困擾著我，我找到了答案。該分佈確實是 Dirichlet-Multinomial 和單個否定。二項分佈甚至不需要相同，只要它們的 Fano 因子（方差與均值的比率）相同。
長答案：
如果將 NB 參數化為：
$ p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda} $
然後 $ E(X) = \lambda $ 和 $ Var(X) = \lambda (1 + \theta) $ 和
$ \forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta) $ 暗示
$ \sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta) $
然後取給定總和的概率：
$ \frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \ =DM(x_1, …, x_n| \theta^{-1}\lambda_1, … , \theta^{-1} \lambda_n) $
在哪裡 $ DM $ 是狄利克雷多項似然。這僅僅是因為除了多項式係數之外，左側分數中的許多項都被抵消了，只剩下恰好與 DM 似然性相同的伽馬函數項。
另請注意，該模型的參數無法識別為增加 $ \theta $ 在所有同時減少 $ \lambda_i $ 結果完全相同的可能性。
我對此的最佳參考是Guimarães & Lindrooth (2007) 的第 2 到 3.1 節：控制分組條件 logit 模型中的過度分散：Dirichlet-多項式回歸的計算簡單應用- 不幸的是，它是付費牆，但我無法查找非付費參考。