層次 Gamma-Poisson 模型的超先驗密度
在數據的層次模型中在哪裡
在實踐中，選擇值似乎是典型的（使得 gamma 分佈的均值和方差與數據的均值和方差大致匹配（例如，Clayton 和 Kaldor，1987 年“疾病映射的年齡標準化相對風險的經驗貝葉斯估計”，Biometrics）。顯然，這只是一個臨時解決方案，因為它會誇大研究人員對參數的信心即使基礎數據生成過程保持不變，已實現數據的微小波動也可能對伽馬密度產生重大影響。 此外，在貝葉斯數據分析（第 2 版）中，格爾曼寫道，這種方法“草率”；在這本書和這篇論文中（從第 3232 頁開始），他反而建議一些超先驗密度應該以類似於大鼠腫瘤示例的方式選擇（從第 130 頁開始）。
雖然很明顯任何只要它產生有限的後驗密度是可以接受的，我還沒有找到研究人員過去用於這個問題的任何超先驗密度的例子。如果有人能指出我使用超先驗密度來估計 Poisson-Gamma 模型的書籍或文章，我將不勝感激。理想情況下，我對這是相對平坦的，並且將由大鼠腫瘤示例中的數據主導，或者討論比較幾種替代規格和與每種規格相關的權衡。
沒有真正回答這個問題，因為我不是在向您指出使用超先驗的書籍或文章，而是描述和鏈接到有關 Gamma 參數先驗的東西。
首先，注意 Poisson-Gamma 模型領先，當被整合到帶有參數的負二項分佈和. 第二個參數在範圍內. 如果您希望不提供信息，請在 Jeffreys 之前可能是合適的。你可以把先驗直接放在或通過變量的變化來獲得：
或者，您可以注意到是 Gamma 分佈的尺度參數，通常是尺度參數的 Jeffreys 先驗是. 人們可能會覺得奇怪的是，杰弗裡家族之前兩種模型不同，但模型本身並不等價；一是為了分配另一個是分配. 支持前者的一個論點是，假設沒有聚類，數據確實是分佈的 負二項式, 所以把先驗直接放在和是要做的事情。OTOH，例如，如果您在數據中有集群，其中每個集群中的觀察具有相同的，你真的需要建模不知何故，所以對待因為 Gamma 分佈的尺度參數似乎更合適。（我對一個可能有爭議的話題的看法。）
第一個參數也可以通過 Jeffreys 先驗來解決。如果我們使用通用技術為每個參數獨立開發 Jeffreys 先驗，然後形成聯合（非 Jeffreys）先驗作為兩個單參數先驗的乘積，我們得到形狀參數的先驗伽瑪分佈：
其中 polygamma 函數. 尷尬，但可以截斷。您可以將其與上述任一 Jeffreys 先驗結合起來，以獲得無信息的聯合先驗分佈。將其與Gamma 比例參數的先驗會導致 Gamma 參數的參考先驗。
如果我們想走完全杰弗里斯路線，為伽瑪參數形成真正的杰弗里斯先驗，我們會得到：
然而，多維參數的 Jeffreys 先驗通常具有較差的屬性和較差的收斂特性（參見講座鏈接）。我不知道 Gamma 是否屬於這種情況，但測試會提供一些有用的信息。
有關 Gamma 的先驗的更多信息，請參閱Yang 和 Berger的A Catalog of Non-Informative Priors 的第 13-14 頁。許多其他發行版也在那裡。有關 Jeffreys 和參考先驗的概述，這裡有一些講義。