混合和分割點過程
下圖左側兩種不同密度（強度）的點過程的實現和正在混合匹配所屬區域的中心，以在中間建立一個具有強度的點過程. 然後隨機選擇點作為從中提取的兩組，如右側所示。
問題：
是? 並且是?
如果左邊的兩個是 Poisson PP，中間的是 Poisson PP 嗎？
右邊那兩個呢？
要回答這個問題，我們需要一點背景知識和符號。在一般術語中，讓表示平面中的一個點過程，這意味著對於任何 Borel 集，， 在飛機上，是一個整數值（包括) 隨機變量，它計算點的數量. 而且，是對每個實現點過程的度量.
與點過程相關的是期望度量
期望總是明確定義的，因為, 但可能是. 它作為一個練習來驗證又是一個措施。為了避免技術問題，我們假設，如果該過程僅真正存在於有界集合上，例如OP發布的圖中的框，這也是合理的。這意味著至於所有. 以下定義和觀察結果如下。
- 我們說有強度 如果有密度wrt Lebesgue 測度，也就是說，如果
- 如果和是兩點過程，我們將疊加定義為和. 這相當於將一個點模式疊加在另一個之上。
- 如果和是具有強度的兩點過程（獨立或不獨立）和那麼疊加有強度.
- 如果和是獨立的泊松過程，則疊加是泊松過程。為了證明這一點，我們首先觀察到是泊松分佈的捲積性質的泊松，那麼如果那麼是不相交的是獨立的，因為和是獨立的並且泊松過程本身。這兩個性質表徵了泊松過程。
總結 I： 我們已經證明，只要一個點過程是兩個具有強度的點過程的總和或疊加，那麼疊加的強度就等於強度的總和。此外，如果過程是獨立的泊松，則疊加是泊松。
對於問題的其餘部分，我們假設至於所有單例集. 然後點過程稱為簡單。具有強度的泊松過程很簡單。對於一個簡單的點過程有一個表示作為
也就是說，作為隨機點處的狄拉克度量之和。如果是伯努利隨機變量，隨機細化是單點過程
很明顯，與
它認為. 如果我們進行iid隨機細化，這意味著都是獨立同分佈的成功概率, 說, 那麼
由此，
如果是一個泊松過程，應該清楚的是，對於不相交然後再次獨立，並且
這表明是泊松過程。相似地，是一個泊松過程（平均測度）。剩下的就是證明和實際上是獨立的。我們在這裡偷工減料，說實際上足以證明和是獨立的任意, 這從
總結二： 我們得出的結論是具有成功概率的 iid 隨機細化一個簡單的點過程，, 強度導致兩個簡單的點過程，和, 有強度和，分別和是的疊加和. 此外，如果，那麼是泊松過程和是獨立的泊松過程。
很自然地問我們是否可以獨立地瘦而不假設的分佈相同，得到相似的結果。這是可能的，但表述起來有點複雜，因為然後必須鏈接到不知何故。例如，對於給定的函數. 然後可以顯示與上述相同的結果，但強度功能的意思. 我們跳過證明。涵蓋空間點過程的最佳通用數學參考是Daley 和 Vere-Jones。緊隨其後的是統計和模擬算法，特別是Møller 和 Waagepetersen。