在 gamma-gamma 模型中，客戶的預期交易價值背後的直覺是什麼？
**背景和動機：**我正在閱讀由 Peter S. Fader、Bruce GS Hardie 和 Ka Lok Lee 撰寫的論文RFM 和 CLV：使用等值曲線進行客戶群分析，試圖獲得軟件庫中可用方法背後的一些直覺例如生命週期和BTYD。本文提出了一種將 RFM 模型納入客戶生命週期價值計算的方法，方法是使用 gamma-gamma 模型計算每筆交易的支出。
**問題：**在論文中，以下公式，計算平均花費為的客戶的預期平均交易價值 $ m_x $ 穿過 $ x $ 交易，如公式 4（第 12 頁）所示：
$$ \begin{align} \mathbb{E}(M\mid p, q, \gamma, m_x, x) & = \frac{(\gamma + m_xx)p}{px+q-1}\ & = \bigg(\frac{q-1}{px+q-1}\bigg)\frac{\gamma p}{q-1}+\bigg(\frac{px}{px+q-1}\bigg)m_x\ \end{align} $$
據我了解 $ q $ 參數用作基礎伽馬分佈中的形狀參數，該分佈對客戶之間平均交易價值的異質性進行建模，但我無法掌握它對給定客戶的預期平均交易價值的影響。
也就是說，我能夠擬合一個伽馬伽馬模型 $ q < 1 $ 某些客戶的預期平均交易價值評估為負值。
**問題：**我得到預期交易值的負值這一事實是否暴露了用於擬合模型的基礎數據集的一些問題？
做模型 $ q < 1 $ 有道理，如果是這樣，我應該從負的預期平均交易價值中解釋什麼？
這是一個（超級）遲到的答案，但我自己正在尋找一些與貨幣價值的伽馬伽馬模型相關的信息，並且遇到了這個。簡短的回答是肯定的，預期交易值的負值暴露了用於擬合模型的基礎數據集的問題。
如果它對您或其他有類似問題的人有幫助，我將嘗試說明為什麼有 $ q<1 $ . 這些支出模型的目的是了解觀察到的每筆交易的支出，目的是在個人層面預測每筆交易的未來支出。伽馬分佈的使用首先由Colombo 和 Jiang (1999)提出，其動機是觀察到如果事務是正態分佈的，那麼 1) 它不受以下限制 $ 0 $ 對於均值和方差參數的任何選擇，以及 2）當觀察到的數據始終顯示為正確偏斜時，您將獲得對稱的支出分佈。
在您提到的論文之後，一位客戶 $ x $ 交易價值 $ z_1,\dots,z_x $ 被建模為 $ z_i \sim \text{Gamma}(p,\nu), $ 我們還允許客戶之間的異質性 $ \nu \sim \text{Gamma}(q,\gamma) $ . 一個關鍵的觀察結果是 $ p $ 和 $ \nu $ ，客戶的平均交易價值 $ \delta $ 是 $ \delta = p/\nu $ . 現在 $ \nu $ 因客戶而異，因此您可能想知道平均交易價值 $ \delta $ 遍及所有個體。表示這個隨機變量 $ D $ . 可以證明 $$ E[D|p,q,\gamma] = \frac{p\gamma}{q-1} $$
這表示客戶的平均交易價值是 $ \frac{p\gamma}{q-1} $ （顯示這有點涉及，但這樣做的方法是推導出分佈並顯示它是具有特定參數的逆伽馬分佈，並在給定的情況下找到預期值）。在任何伽馬分佈中，參數都是嚴格正的，所以 $ p>0,\gamma >0 $ ，所以如果你有 $ q<1 $ ，那麼個體之間的預期交易價值一定是負的。
這應該暫停一下：為什麼預期的交易價值是負的？您可以嘗試通過考慮為每筆交易補償個人來驗證這一點，但這很奇怪，如果這是您正在處理的那種情況，還有其他模型，因此您的模型發現的事實 $ q<1 $ 僅出於這個原因，就應該立即引起一些嚴重的擔憂。
最後一點，我認為更好地理解
$$ \begin{align} \mathbb{E}(M\mid p, q, \gamma, m_x, x) & = \frac{(\gamma + m_xx)p}{px+q-1}\ & = \bigg(\frac{q-1}{px+q-1}\bigg)\frac{\gamma p}{q-1}+\bigg(\frac{px}{px+q-1}\bigg)m_x\ \end{align} $$
注意到它只是人口平均交易價值的加權平均值 $ E[D|p,q,\gamma] = \frac{p\gamma}{q-1} $ 和觀察到的平均交易價值 $ m_x = \frac{1}{x}\sum_{i=1}^x z_i $ 給定客戶的權重，並且可以從貝葉斯框架中將權重完全理解為具有先驗（平均平均交易價值），並且當您觀察到更多數據時，您對其賦予的權重會下降 $ x $ 在給定的個人！