在有限無限過程的每一步，將 10 個球放入一個甕中並隨機取出一個。還剩多少球？
問題（稍作修改）如下，如果您從未遇到過，可以在 Sheldon Ross 的A First Course in Probability的示例 6a 第 2 章中檢查它：
假設我們擁有一個無限大的甕和一個無限的球集合，這些球標記為 1 號、2 號、3 號等等。考慮一個如下進行的實驗：在下午 1 分鐘到 12 點，將編號為 1 到 10 的球放入甕中，隨機取出一個球。（假設取款不需要時間。）在下午 1/2 分鐘到 12 點，編號為 11 到 20 的球被放入甕中，另一個球隨機取出。在下午 1/4 分鐘到下午 12 點，編號為 21 到 30 的球被放入甕中，另一個球隨機取出……以此類推。有趣的問題是，下午 12 點，骨灰盒裡有多少球？
這個問題，正如它所提出的那樣，基本上迫使每個人都弄錯了——通常直覺是說在下午 12 點會有無限多的球。然而，羅斯提供的答案是，骨灰盒很可能是空的中午 12 點
在教授概率論時，這個問題是很難給出一個很好的直觀解釋的問題之一。
一方面，您可以嘗試這樣解釋：“想想下午 12 點我在甕中的任何球的概率在無限隨機抽獎期間，它最終會被移除。因為這適用於所有球，所以沒有他們中的一個可以在最後”。
但是，學生會正確地與您爭論：“但是我每次放10個球並取出1個球。不可能最後會有零個球”。
為了解決這些相互矛盾的直覺，我們能給他們最好的解釋是什麼？
我也對這個問題的論點持開放態度，如果我們更好地表述它，“悖論”就會消失，或者說悖論是“純粹的數學”（但請盡量準確）。
羅斯在他的教科書的示例 6a 中描述了這個“悖論”的三個版本。在每個版本中，將 10 個球添加到甕中，並在程序的每個步驟中取出 1 個球。
- 在第一個版本中，10n-th 球在n- 第一步。午夜之後還有無限多的球，因為所有數字不以零結尾的球都還在裡面。
- 在第二個版本中，n-th 球在n- 第一步。午夜後剩下零個球，因為每個球最終都會在相應的步驟被移除。
- 在第三個版本中，球被隨機均勻地移除。羅斯計算每個球被逐步移除的概率n並發現它收斂到1作為n→∞（請注意，這並不明顯！實際上必須執行計算）。這意味著，根據布爾不等式，最後有零個球的概率也是1.
您是說最後一個結論不直觀且難以解釋；在這個線程中許多令人困惑的答案和評論都很好地支持了這一點。然而，第二個版本的結論同樣不直觀！**它與概率或統計*完全無關。***我覺得接受了第二個版本之後，第三個版本就沒有什麼特別令人驚訝的了。
因此，雖然“概率”討論必須是關於第三個版本 [參見 @paw88789、@Paul 和 @ekvall 的非常有見地的回答]，但“哲學”討論應該集中在第二個版本上，這更容易並且在希爾伯特旅館的精神。
**第二個版本被稱為羅斯-利特爾伍德悖論。**我鏈接到維基百科頁面，但那裡的討論非常混亂，我根本不建議閱讀它。相反，請查看幾年前的這個 MathOverflow 線程。它現在已經關閉，但包含幾個非常有洞察力的答案。我認為最重要的答案的簡短摘要如下。
我們可以定義一個集合小號n步驟後甕中的球n. 我們有那個小號1={2,…10},小號2={3,…20}等。有一個數學上明確定義的集合序列的極限概念，並且可以嚴格證明該序列的極限存在並且是空集∅. 確實，什麼球可以在限制範圍內？只有那些永遠不會被刪除的。但是每個球最終都會被移除。所以限制是空的。我們可以寫小號n→∅.
同時，數|小號n|組中的球小號n，也稱為這個集合的基數，等於10n-n=9n. 序列9n顯然是發散的，這意味著基數收斂到基數ñ，也稱為aleph 零 ℵ0. 所以我們可以這樣寫|小號n|→ℵ0.
現在的“悖論”是這兩個陳述似乎相互矛盾： 小號n→∅|小號n|→ℵ0≠0
但是當然沒有真正的悖論，也沒有矛盾。沒有人說取基數是對集合的“連續”運算，所以我們不能用極限交換它：林|小號n|≠|林小號n|.
換句話說，從這個事實|小號n|=9n對於所有整數n∈ñ我們不能得出結論|小號ω|（第一個序數的值）等於∞. 反而，|小號ω|必須直接計算，結果為零。
所以我認為我們從中得到的結論是，取基數是一個不連續的操作…… [@HarryAltman]
所以我認為這個悖論只是人類傾向於假設“簡單”操作是連續的。[@NateEldredge]
**使用函數而不是集合更容易理解。**考慮一個特徵（又名指標）函數Fn(X)集的小號n它被定義為等於一[n,10n]間隔和零在別處。前十個函數看起來像這樣（比較@Hurkyl 答案中的 ASCII 藝術）：
每個人都會同意，對於每一點一個∈R， 我們有林Fn(一個)=0. 根據定義，這意味著函數Fn(X)收斂到函數G(X)=0. 同樣，每個人都會同意這一點。但是，請注意這些函數的積分∫∞0F(X)dX=9n越來越大，積分序列發散。換句話說，
林∫Fn(X)dX≠∫林Fn(X)dX.
這是一個完全標準且熟悉的分析結果。但這是對我們悖論的精確重新表述！
將問題形式化的一個好方法是將水壺的狀態描述為不作為一個集合（ñ)，因為這些很難限制，但作為其特徵功能。第一個“悖論”是逐點限制與統一限制不同。[@TheoJohnson-Freyd]
關鍵是“午夜正午”整個無限序列已經過去了，即我們進行了一次“超限跳躍”，到達了超限狀態Fω=林Fn(X). “午夜正午”的積分值必須是林Fn，而不是相反。
請注意，儘管受到高度評價，但該線程中的某些答案具有誤導性。
特別是，@cmaster 計算林n→∞球數(小號n)這確實是無限的，但這不是悖論所要問的。這個悖論問的是在整個無限的步驟序列之後會發生什麼；這是一個超限結構，所以我們需要計算球數(小號ω)如上所述，它等於零。
