二項式-二項式是二項式嗎？

讓 X∣Y∼Binomial(Y,p) ， 然後讓 Y∼Binomial(n,q) . 我看到它寫道：

宣稱： X 是勉強 Binomial(n,pq) .

有一個簡單的理由：首先， Y 人口中的成員是隨機選擇的 q ，然後以概率選擇其中的每一個 p , 這樣每個成員最後都是有概率隨機選擇的 pq . 那是令人滿意的。

但是，我對邊際方差的計算 X 如果上述聲明為真，則不同意應該為真的答案。如果上面的說法是真的，我們應該有 varX=npq(1−pq) . 但是，我越來越varX=E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y]) =E[Yp(1−p)]+var(pY) =np(1−p)+p2nq(1−q).

這不等於 npq(1−pq) . 要查看此內容，請插入 p=0.5,q=0.5 , 在這種情況下 npq(1−pq)=0.1875n 和 np(1−p)+p2nq(1−q)=0.3125n .

我想知道是否有人可以檢查我的數學，或指向任何顯示的資源 X 實際上是略微 Bin(n,pq)。謝謝。

寫 Y=∑iBi 和 X=∑iAiBi 在哪裡 Ai∼Bernoulli(p) 和 Bi∼Bernoulli(q) . 然後 Y 和 X 指定聯合分佈 ( Y 很明顯，並且有條件 Y 我們將有一個確切的總和 Y 的 Bi ’s)，但顯然 AiBi∼Bernoulli(pq) 獨立。因此 X∼Binomial(n,pq) 勉強。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/540266