二項式-二項式是二項式嗎？
讓 $ X\mid Y\thicksim\operatorname{Binomial}(Y,p) $ ， 然後讓 $ Y\thicksim\operatorname{Binomial}(n,q) $ . 我看到它寫道：
宣稱： $ X $ 是勉強 $ \operatorname{Binomial}(n,pq) $ .
有一個簡單的理由：首先， $ Y $ 人口中的成員是隨機選擇的 $ q $ ，然後以概率選擇其中的每一個 $ p $ , 這樣每個成員最後都是有概率隨機選擇的 $ pq $ . 那是令人滿意的。
但是，我對邊際方差的計算 $ X $ 如果上述聲明為真，則不同意應該為真的答案。如果上面的說法是真的，我們應該有 $ \operatorname{var} X = npq(1-pq) $ . 但是，我越來越$$ \begin{aligned} \operatorname{var} X &= E[\operatorname{var}(X\mid Y)] + \operatorname{var}(E[X\mid Y])\ &=E[Yp(1-p)] + \operatorname{var}(pY)\ &=np(1-p) + p^2 n q (1-q). \end{aligned} $$
這不等於 $ npq(1-pq) $ . 要查看此內容，請插入 $ p=0.5,q=0.5 $ , 在這種情況下 $ npq(1-pq)=0.1875n $ 和 $ np(1-p) + p^2 n q (1-q)=0.3125n $ .
我想知道是否有人可以檢查我的數學，或指向任何顯示的資源 $ X $ 實際上是略微 Bin(n,pq)。謝謝。
寫 $ Y = \sum_i B_i $ 和 $ X = \sum_i A_i B_i $ 在哪裡 $ A_i \sim \text{Bernoulli}(p) $ 和 $ B_i \sim \text{Bernoulli}(q) $ . 然後 $ Y $ 和 $ X $ 指定聯合分佈 ( $ Y $ 很明顯，並且有條件 $ Y $ 我們將有一個確切的總和 $ Y $ 的 $ B_i $ ’s)，但顯然 $ A_i B_i \sim \text{Bernoulli}(pq) $ 獨立。因此 $ X \sim \text{Binomial}(n, pq) $ 勉強。