貝塔變量和均勻變量的組合分佈
給定
（在哪裡，如果有幫助）和
我試圖找到一個公式（甚至是 cdf）
在域上.
我從這裡知道給定它的PDF是
當然 beta 分佈的 pdf 是
但是將它們結合起來已經超出了我作為工程師的技能。
**編輯：**因為這似乎不可能使用封閉形式，有人可以告訴我如何制定積分來計算這種 PDF 嗎？如果我能深入了解這種類型的複合分佈是如何在數學上構建的，那麼我可能有某種方法可以將問題重新表述為對解決方案更友好。
密度沒有封閉形式。它的積分形式可以得到如下。如果我們以 X=x 我們有 Y=x+(1−2x)C 在哪裡 C 範圍在單位區間內。在這種情況下的支持是：
supp(Y|X=x)={[x,1−x]for 0⩽x<12,\[6pt][1−x,x]for 12<x⩽1.\[6pt]
（我們可以忽略這種情況 x=12 因為這發生的概率為零。）在這個支持下，我們有條件密度：
pY|X(y|x)=1|1−2x|⋅pC(y−x1−2x)\[6pt]=1|1−2x|⋅2π(1−(y−x1−2x)2)−1/2\[6pt]=1|1−2x|⋅2π((1−2x)2−(y−x)2(1−2x)2)−1/2\[6pt]=1|1−2x|⋅2π((1−4x+4x2)−(y2−2xy+x2)(1−2x)2)−1/2\[6pt]=1|1−2x|⋅2π(1−4x+3x2+2xy−y2(1−2x)2)−1/2\[6pt]=1|1−2x|⋅2π⋅|1−2x|√1−4x+3x2+2xy−y2\[6pt]=2π⋅1√1−4x+3x2+2xy−y2.\[6pt]
反轉我們擁有的支持 supp(X|Y=y)=[0,min(y,1−y)]∩[max(y,1−y),1] . 因此，應用總概率定律會給你：
$$ \begin{aligned} p_Y(y) &= \int \limits_0^1 p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx \[6pt] &= \int \limits_0^{\min(y,1-y)} p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx
- \int \limits_{\max(y,1-y)}^1 p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx \[6pt] &= \frac{2}{\pi} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \Bigg[ \quad \int \limits_0^{\min(y,1-y)} \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}} \ dx \ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int \limits_{\max(y,1-y)}^1 \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}} \ dx \Bigg]. \[6pt] \end{aligned} $$
該積分沒有封閉形式，因此必須使用數值方法對其進行評估。