貝塔變量和均勻變量的組合分佈
給定
（在哪裡，如果有幫助）和
我試圖找到一個公式（甚至是 cdf）
在域上.
我從這裡知道給定它的PDF是
當然 beta 分佈的 pdf 是
但是將它們結合起來已經超出了我作為工程師的技能。
**編輯：**因為這似乎不可能使用封閉形式，有人可以告訴我如何制定積分來計算這種 PDF 嗎？如果我能深入了解這種類型的複合分佈是如何在數學上構建的，那麼我可能有某種方法可以將問題重新表述為對解決方案更友好。
密度沒有封閉形式。它的積分形式可以得到如下。如果我們以 $ X=x $ 我們有 $ Y = x + (1-2x) C $ 在哪裡 $ C $ 範圍在單位區間內。在這種情況下的支持是：
$$ \text{supp}(Y|X=x) = \begin{cases} [x,1-x] & & & \text{for } 0 \leqslant x < \tfrac{1}{2}, \[6pt] [1-x,x] & & & \text{for } \tfrac{1}{2} < x \leqslant 1. \[6pt] \end{cases} $$
（我們可以忽略這種情況 $ x=\tfrac{1}{2} $ 因為這發生的概率為零。）在這個支持下，我們有條件密度：
$$ \begin{aligned} p_{Y|X}(y|x) &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot p_C \bigg( \frac{y-x}{1-2x} \bigg) \[6pt] &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot \frac{2}{\pi} \bigg( 1 - \bigg( \frac{y-x}{1-2x} \bigg)^2 \bigg)^{-1/2} \[6pt] &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot \frac{2}{\pi} \bigg( \frac{(1-2x)^2 - (y-x)^2}{(1-2x)^2} \bigg)^{-1/2} \[6pt] &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot \frac{2}{\pi} \bigg( \frac{(1-4x+4x^2) - (y^2-2xy+x^2)}{(1-2x)^2} \bigg)^{-1/2} \[6pt] &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot \frac{2}{\pi} \bigg( \frac{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}{(1-2x)^2} \bigg)^{-1/2} \[6pt] &= \frac{1}{|1-2x|} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{|1-2x|}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}} \[6pt] &= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}}. \[6pt] \end{aligned} $$
反轉我們擁有的支持 $ \text{supp}(X|Y=y) = [0,\min(y,1-y)] \cap [\max(y,1-y),1] $ . 因此，應用總概率定律會給你：
$$ \begin{aligned} p_Y(y) &= \int \limits_0^1 p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx \[6pt] &= \int \limits_0^{\min(y,1-y)} p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx
- \int \limits_{\max(y,1-y)}^1 p_{Y|X}(y|x) p_X(x) \ dx \[6pt] &= \frac{2}{\pi} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \Bigg[ \quad \int \limits_0^{\min(y,1-y)} \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}} \ dx \ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int \limits_{\max(y,1-y)}^1 \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{\sqrt{1 - 4x + 3x^2 + 2xy - y^2}} \ dx \Bigg]. \[6pt] \end{aligned} $$
該積分沒有封閉形式，因此必須使用數值方法對其進行評估。