截斷 RV 推導的條件期望，gumbel 分佈（邏輯差）
我有兩個獨立且同分佈的隨機變量，即:
我正在嘗試計算兩個數量：
我到了需要對以下形式進行集成的地步：，它似乎沒有封閉形式的積分。**誰能幫我解決這個問題？**也許我做錯了什麼。
我覺得肯定應該有封閉形式的解決方案。（編輯：即使它不是封閉形式，但也會有軟件來快速評估積分 [例如 Ei(x)]，我想這也可以。）
編輯：
我認為隨著變量的變化，讓
和
這映射到和分別。
. 然後在變量的變化下，我將（1）歸結為…
可能有一個代數錯誤，但我仍然無法解決這個積分……
相關問題：iid Gumbel 變量的最大值的期望
由於參數 $ (\mu,\beta) $ Gumbel 分佈的分別是位置和規模，問題簡化為計算 $$ \mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x} $$ 在哪裡 $ f $ 和 $ F $ 與 $ \mu=0 $ , $ \beta=1 $ . 分母以封閉形式提供 $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp{-\exp[-x-c]}\exp{-x}\exp{-\exp[-x]}\text{d}x\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp{-(1+a)\exp[-x]}\exp{-x}\text{d}x\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp{-(1+a)e^{-x}}\right]{-\infty}^{+\infty}\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*} $$ 分子涉及指數積分，因為（根據WolframAlpha 積分器） $$ \begin{align*} \int{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp{-(1+a)\exp[-x]}\exp{-x}\text{d}x\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp{-(1+a)z}\text{d}z\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*} $$ 因此 $$ \mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c}) $$ 這個結果可以很容易地通過模擬來檢查，因為產生一個 Gumbel 變量相當於轉換一個 Uniform (0,1) 變量， $ U $ ， 作為 $ X=-\log{-\log(U)} $ . 蒙特卡洛和理論手段確實同意：
從 -2 到 2 變化，對數軸，基於 10⁵ 模擬" />