構造示例顯示和(X−1)=(E(X))−1和(X−1)=(和(X))−1mathbb{E}(X^{-1})=(mathbb{E}(X))^{-1}
如何構造一個概率分佈的例子 $ \mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)} $ 持有，假設 $ \mathbb{P}(X\ne0)=1 $ ?
正值 RV 的 Jensen 不等式得出的不等式 $ X $ 就好像 $ \mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)} $ （反向不等式如果 $ X<0 $ ）。這是因為映射 $ x\mapsto\frac{1}{x} $ 是凸的 $ x>0 $ 並凹為 $ x<0 $ . 根據 Jensen 不等式中的等式條件，我猜想分佈必須退化才能保持所需的等式。等式成立的一個小例子當然是如果 $ X=1 $ ae 這是我在一本問題書中找到的一個例子：考慮一個離散隨機變量 $ X $ 這樣 $ \mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9} $ . 然後很容易驗證 $ \mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1 $ .
這個例子表明 $ X $ 不必為正（或負）ae，標題中的相等性成立。這裡的分佈也不是退化的。
我如何構建一個示例，可能就像我在書中找到的那樣？有什麼動機嗎？
讓我們構建所有可能的隨機變量示例為此. 然後，在其中，我們可能會遵循一些啟發式方法來獲得最簡單的可能示例。 這些啟發式方法包括為退出初步分析的所有表達式提供最簡單的可能值。 這原來是教科書的例子。
初步分析
這只需要根據定義進行一點點分析。解決方案只是次要的利益：主要目標是開發洞察力以幫助我們直觀地理解結果。
首先觀察 Jensen 不等式（或 Cauchy-Schwarz 不等式）意味著對於一個正隨機變量,, 等式成立當且僅當是“退化的”：也就是說，幾乎可以肯定是恆定的。什麼時候是一個負隨機變量，是正的，前面的結果在不等號反轉的情況下成立。因此，任何例子必須有正概率為負數和正概率為正數。
這裡的見解是，任何和必須以某種方式“平衡”來自其積極部分的不平等與來自其消極部分的另一個方向的不平等。隨著我們的進行，這將變得更加清晰。
考慮任何非零隨機變量. 制定期望定義的第一步（至少在使用測度論完全概括的情況下）是分解分為正數和負數部分，都是正隨機變量：
讓我們想想作為混合物_有重量和有重量在哪裡
明顯地 這將使我們能夠寫出期望和就正變量的期望而言和. 為了稍微簡化即將到來的代數，請注意統一重新縮放由一個數字不變——但它確實成倍增加和每個由. 對於正面, 這僅僅相當於選擇測量單位. 一個負面的切換角色和. 選擇符號因此我們可以適當地假設
符號
這就是初步的簡化。為了創建一個好的符號，讓我們因此寫
對於我們無法控制的三個期望。這三個量都是正數。Jensen 的不等式斷言
全概率定律表達了對和就我們命名的數量而言：
並且，因為有相同的符號,
將這兩個表達式的乘積與提供變量之間的基本關係：
問題的重新表述
假設部分–和–是任何正隨機變量（退化與否）。這決定了和. 我們什麼時候可以找到， 和, 為此持有？
這清楚地表達了先前僅含糊地說出的“平衡”見解：我們將堅持和固定並希望找到一個值適當地平衡他們的相對貢獻. 雖然目前還不是很明顯需要存在，很明顯它只取決於時刻,,， 和. 問題由此簡化為相對簡單的代數——隨機變量的所有分析都已完成。
解決方案
這個代數問題並不難解決，因為在最壞的情況下是一個二次方程和統治不平等和都比較簡單。的確，告訴我們它的根源的產物和是
總和是
因此，兩個根都必須是正的。此外，它們的平均值低於， 因為
（通過做一些代數，不難證明兩個根中較大的一個不超過， 任何一個。）
一個定理
這是我們發現的：
給定任意兩個正隨機變量和（至少其中一個是非退化的）,,， 和存在並且是有限的。那麼存在一個或兩個值， 和, 確定混合變量有重量為了和重量為了並且為此. 每個這樣的隨機變量實例和是這種形式。
這確實為我們提供了豐富的示例！
構建最簡單的例子
在描述了所有示例之後，讓我們繼續構建一個盡可能簡單的示例。
- 對於負面的部分，讓我們選擇一個退化變量——最簡單的隨機變量。它將被縮放以使其價值, 從何而來. 的解決方案包括，將其簡化為一個容易求解的線性方程：唯一的正根是
- 對於積極的部分, 如果是退化的，所以讓我們在兩個不同的正值上給它一些概率， 說. 在這種情況下，期望的定義給出
- **為了讓這更簡單，讓我們和相同：**這力量和. 現在
解決方案簡化為
- 我們怎樣才能使這涉及簡單的數字？自從和, 必然. 讓我們選擇最簡單的大於為了; 即，. 上述公式產生因此，我們最簡單的例子的候選者是
這正是教科書中提供的例子。