所有有界概率分佈都有確定的均值嗎？
在一個關於可能分佈沒有定義均值的必要條件的問題中，RM 發表了評論：
“採用柯西分佈並剪掉尾巴 - 甚至任意遠，例如加/減 xkcd 數 - 並且（一旦重新歸一化）你突然得到一些東西……（那個）……有一個定義的平均值”
這種說法不僅適用於“切碎的”柯西分佈，而且適用於所有有界概率分佈嗎？
請注意，您在問題中使用的*有界定義是非標準的。我會說你的發行版有緊湊的支持*。在任何情況下…
這是一個證明定義均值的積分存在的證據。
假設 $ X $ 是一個帶有截斷尾巴的隨機變量，就像您指定的那樣。拿 $ f $ 為密度函數 $ X $ （如果我們願意，我們可以使用 CDF 來代替，這將提供稍微更一般的證明）。然後根據你的假設，有一些間隔 $ [-A, A] $ 在這之外，函數 $ f $ 同樣為零。在這個區間內，密度函數是非負的，根據其通常的性質。
積分 $ \int_{-A}^{A} f(x) dx $ 存在且是有限的，它等於一。因此，我們可以綁定：
$$ \int_{-A}^{A} \left| x f(x) \right| dx \leq \int_{-A}^{A} A f(x) dx = A \int_{-A}^{A} f(x) dx \leq A $$
所以，函數 $ x f(x) $ 由可積函數支配 $ A f(x) $ 在區間 $ [-A, A] $ . 從支配收斂定理，立即得出 $ x f(x) $ 可積在 $ [-A, A] $ ，並且積分是有限的（由 $ A f(x) $ , 由 $ A $ ）。
最後，由於 $ f $ 在指定間隔之外為零，我們觀察到這一點就足夠了：
$$ \int_{-A}^A x f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$
完成事情。