平均而言，一個骨灰盒的概率分佈是否會隨著您從中提取而發生變化而無需更換？

假設我有一個裝有 N 種不同顏色的球的甕，每種不同的顏色可以出現不同的次數（如果有 10 個紅球，則不一定有 10 個藍球）。如果我們在抽獎之前知道甕的確切內容，我們可以形成一個離散的概率分佈，它告訴我們抽出每種顏色的球的概率。我想知道的是***，平均從甕中抽出 k 個球而沒有更換後分佈如何變化***. 我知道，當我們從骨灰盒中提取時，我們可以根據取出的內容來更新分佈，但我想知道的是，在我們移除 k 個球後，我們期望分佈的形狀是什麼。分佈是平均變化還是保持不變？如果它不保持不變，我們是否可以寫出一些公式來計算我們期望新分佈在進行 k 次平局後的平均樣子？

1. “直接計算”：讓有球甕中的顏色。讓我們關注在第二次繪製時繪製一種特定顏色（例如*白色）的概率。*設白球的數量為. 讓是在- 抽獎。

當然，同樣的論點適用於第二次抽獎的任何顏色。在考慮以後的抽獎時，我們可以遞歸地應用相同類型的參數。

[當然可以進行更直接的計算。考慮第一個繪製為由白球和非白球（概率由超幾何分佈給出），並執行上述簡單的相應計算，但在步驟; 有一個類似的簡化和取消，但執行起來並不是特別有啟發性。] 2. 一個更簡短的論點：考慮用數字隨機標記球，然後按照標註的順序畫出來。現在的問題變成了“給定標籤的概率是, 被放置在一個白球上的概率與標籤相同被放在一個白球上？”

現在我們通過標籤的對稱性看到答案必須是“是”。同樣，通過球顏色的對稱性，我們說“白色”並不重要，所以標籤的論點和標籤具有相同的概率適用於任何顏色。因此分佈在-第一次抽籤與第一次抽籤相同，只要我們沒有來自較早抽籤的額外信息（即，只要未看到較早抽籤的球）。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/160748