獨立平方均勻隨機變量和的平方根的期望

讓 X1,…,Xn∼U(0,1) 是獨立同分佈的標準均勻隨機變量。

Let Yn=n∑iX2iI seek: E[√Yn]

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的期望 Yn 簡單：

E[X2]=∫10y2√y=13 E[Yn]=E[n∑iX2i]=n∑iE[X2i]=n3

現在是無聊的部分。要申請 LOTUS，我需要 pdf Yn . 當然，兩個獨立隨機變量之和的 pdf 是它們 pdf 的捲積。然而，這裡我們有 n 隨機變量，我猜卷積會導致……複雜的表達（可怕的雙關語）。有沒有更聰明的方法？

我希望看到正確的解決方案，但如果它不可能或太複雜，請使用大的漸近近似 n 可以接受。根據 Jensen 不等式，我知道

√E[Yn]=√n3≥E[√Yn]

但這對我沒有多大幫助，除非我也能找到一個不平凡的下限。請注意，CLT 在這裡並不直接適用，因為我們有獨立 RV 之和的平方根，而不僅僅是獨立 RV 之和。也許可能有其他極限定理（我忽略）在這裡可能會有所幫助。

一種方法是首先計算矩生成函數 (mgf) Yn 被定義為 Yn=U21+⋯+U2n 在哪裡 Ui,i=1,…,n 是獨立同分佈的標準均勻隨機變量。

當我們擁有它時，我們可以看到 E√Yn

是分數矩 Yn 有秩序的 α=1/2 . 然後我們可以使用 Noel Cressie 和 Marinus Borkent 論文的結果：“The Moment Generating Function has its Moments”，Journal of Statistical Planning and Inference 13 (1986) 337-344，它通過矩生成函數的分數微分給出分數矩.

首先是矩生成函數 U21 , 我們寫 M1(t) . M1(t)=EetU21=∫10etx2√x;dx

我評估了（在 Maple 和 Wolphram Alpha 的幫助下）給 M1(t)=erf(√−t)√π2√−t

在哪裡 i=√−1 是虛數單位。（Wolphram Alpha 給出了類似的答案，但根據 Dawson 積分。）事實證明，我們最需要的情況是 t<0 . 現在很容易找到 Yn ： Mn(t)=M1(t)n

然後是引用論文的結果。為了 μ>0 他們定義 μ 函數的三階積分 f 作為 Iμf(t)≡Γ(μ)−1∫t−∞(t−z)μ−1f(z);dz

那麼，對於 α>0 和非積分的， n 一個正整數，和 0<λ<1 這樣 α=n−λ . 然後的導數 f 有秩序的 α 定義為 Dαf(t)≡Γ(λ)−1∫t−∞(t−z)λ−1dnf(z)dzn;dz.

然後他們陳述（並證明）以下結果，對於一個正隨機變量 X ： 認為 MX (mgf) 已定義。那麼，對於 α>0 , DαMX(0)=EXα<∞

現在我們可以嘗試將這些結果應用於 Yn . 和 α=1/2 我們發現 EY1/2n=D1/2Mn(0)=Γ(1/2)−1∫0−∞|z|−1/2M′n(z);dz

其中素數表示導數。Maple 給出了以下解決方案： ∫0−∞n⋅(erf(√−z)√π−2ez√−z)en(−2ln2+2ln(erf(√−z))−ln(−z)+ln(π))22π(−z)3/2erf(√−z);dz

我將展示這個期望的圖，使用數值積分在楓樹中製作，以及近似解 A(n)=√n/3−1/15 來自一些評論（並在@Henry的回答中討論）。它們非常接近：

作為補充，百分比誤差圖：

以上關於 n=20 近似值接近精確。下面使用的楓木代碼：

int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t>0;
int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t<0;
M := t -> erf(sqrt(-t))*sqrt(Pi)/(2*sqrt(-t))
Mn := (t,n) -> exp(n*log(M(t)))
A  :=  n -> sqrt(n/3 - 1/15)
Ex :=  n ->   int( diff(Mn(z,n),z)/(sqrt(abs(z))*GAMMA(1/2) ), z=-infinity..0 ,numeric=true)

plot([Ex(n),A(n)],n=1..100,color=[blue,red],legend=[exact,approx],labels=[n,expectation],title="expectation of sum of squared uniforms")
plot([((A(n)-Ex(n))/Ex(n))*100],n=1..100,color=[blue],labels=[n,"% error"],title="Percentage error of approximation")

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/317095