預期值與最可能值（模式）
分佈的期望值 $ f(x) $ 是平均值，即加權平均值 $$ E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x , , f(x) dx $$
最可能的值是眾數，即最可能的值。
然而，我們是否期望以某種方式看到 $ E[x] $ 很多時間？從這裡引用：
如果結果 $ x_i $ 不是同樣可能的，則必須用加權平均代替簡單平均，這考慮到某些結果比其他結果更有可能的事實。然而，直覺保持不變：期望值 $ x $ 是人們平均預期會發生的事情。
我無法理解“平均發生”是什麼意思，這是否意味著，例如，採取措施很多時間我希望看到 $ E[x] $ 超過其他值 $ x $ ? 但這不就是模式的定義嗎？
那麼如何解讀聲明呢？概率的含義是什麼 $ E[x] $ ?
我還想舉一個我確實感到困惑的例子。學習 $ \chi^2 $ 分佈我了解到模式 是 $ \chi^2_{mode}=\nu-2 $ ， 儘管 $ E[\chi^2]=\nu $ ， 在哪裡 $ \nu $ 是數據的自由度。
我在大學聽說，當做一個 $ \chi^2 $ 在使用最小二乘法擬合一組數據後進行測試，我應該期望得到 $ \chi^2 \approx \nu $ 因為“這就是一般情況下發生的事情”。
我是否誤解了所有這一切，或者預期值在某種程度上很有可能？（即使最可能的值當然是眾數）
對於正態分佈，期望值，也就是平均值，等於眾數。
一般來說，期望值不僅不是最有可能（或密度最高），而且可能沒有發生的機會。例如，考慮等於 0 或 2 的隨機變量 X，每個變量的概率為 0.5。那麼 EX = 1，但期望值 1 的發生概率為 0，而 0 和 2 都是分佈的模式。
引用“x 的期望值是人們期望平均發生的值”是非技術外行的語言，從您的困惑中可以看出，這只會使事情變得混亂。期望值在概率中具有非常特殊的含義，即數學平均值。而在外行的語言中，預期值或“平均”可能是預期通常會發生的事情。如果“平均”被解釋為所發生事件的數學平均值，則這些可以調和。
期待你的，
喬平均