如何分析計算遞歸隨機變量的方差？

假設我有一個胸部。當您打開寶箱時，有 60% 的機會獲得獎品，還有 40% 的機會獲得 2 個額外的寶箱。讓 $ X $ 是您獲得的獎品數量。它的方差是多少？

計算 $ E[X] $ 相當直截了當： $ E[X] = .4 \cdot 2 \cdot E[X] + .6 $ 這導致 $ E[X] = 3 $ ，但我也想知道獎品數量的差異，而不僅僅是平均值。 $ Var[X] = E[X^2] - E[X]^2 = E[X^2] - 9 $ ，但我遇到了麻煩 $ E[X^2] $ . 任何人都知道這是否簡單？從模擬中，我知道方差約為 30。

謝謝

將下一個箱子稱為 $ X_1,X_2 $ . 和 $ 0.4 $ 概率，我們的新變量是 $ X_1+X_2 $ 與 $ 0.6 $ 概率，是 $ 1 $ . 所以，

$$ \begin{align}E[X^2]&=0.4\times E[(X_1+X_2)^2]+0.6\times1^2\&=0.4\times E[X_1^2+X_2^2+2X_1X_2]+0.6\&=0.4\times(2E[X^2]+2E[X]^2)+0.6\&=0.8\times E[X^2]+7.8\rightarrow E[X^2]=39\rightarrow\operatorname{var}(X)=30\end{align} $$

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/460698