如何證明和|X-μ|≤E|X-與|和|X−μ|≤和|X−是|E|X-mu| leq E|X-Y|?

認為 $ X $ 和 $ Y $ 是獨立的並且來自相同的分佈，其累積分佈函數為 $ F $ . 認為 $ X $ 是可積的。

如何證明$$ E|X-\mu| \leq E|X-Y|, $$ 在哪裡 $ \mu=E(X) $ ?

我嘗試使用$$ E|X-Y| = 2\int_{-\infty}^{\infty}F(x)(1-F(x)),dx $$和$$ E|X-\mu|=2\int^{\mu}{-\infty}F(x),dx $$並得到$$ \frac{1}{2}[E|X-Y|-E|X-\mu|] = \int{\mu}^{\infty}F(x),dx-\int_{-\infty}^{\infty}[F(x)]^2,dx $$我不知道如何證明這大於 $ 0 $ .

一些提示：

定義 $ \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} g(y)=\E |X-y| $ 並表明 $ g $ 是一個凸函數。參見例如https://math.stackexchange.com/questions/2591194/convexity-concavity-preserving-under-integral。查找Jensen 不等式。

比較 $ g(\mu)=g(\E Y) $ 和 $ \E g(Y) $ .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/502435