如何證明和|X-μ|≤E|X-與|和|X−μ|≤和|X−是|E|X-mu| leq E|X-Y|?

認為 X 和 Y 是獨立的並且來自相同的分佈，其累積分佈函數為 F . 認為 X 是可積的。

如何證明E|X−μ|≤E|X−Y|,

在哪裡 μ=E(X) ?

我嘗試使用E|X−Y|=2∫∞−∞F(x)(1−F(x)),dx

和$$ E|X-\mu|=2\int^{\mu}{-\infty}F(x),dx 並得到

\frac{1}{2}[E|X-Y|-E|X-\mu|] = \int{\mu}^{\infty}F(x),dx-\int_{-\infty}^{\infty}[F(x)]^2,dx $$我不知道如何證明這大於 0 .

一些提示：

定義 g(y)=E|X−y| 並表明 g 是一個凸函數。參見例如https://math.stackexchange.com/questions/2591194/convexity-concavity-preserving-under-integral。查找Jensen 不等式。

比較 g(μ)=g(EY) 和 Eg(Y) .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/502435