Probability
如果我生成一個隨機對稱矩陣，它是正定的機會是多少？
我在嘗試一些凸優化時遇到了一個奇怪的問題。問題是：
假設我隨機（比如標準正態分佈）生成一個對稱矩陣，（例如，我生成上三角矩陣，並填充下半部分以確保它是對稱的），它是正定矩陣的機會有多大？有沒有辦法計算概率？
如果您的矩陣是從標準正態 iid 條目中提取的，則為正定的概率約為 $ p_N\approx 3^{-N^2/4} $ ，例如，如果 $ N=5 $ ，機會是 1/1000，之後下降得很快。您可以在此處找到有關此問題的擴展討論。
您可以通過接受矩陣的特徵值分佈近似於Wigner semicircle來稍微直觀地得出這個答案，它關於零對稱。如果特徵值都是獨立的，你會有一個 $ (1/2)^N $ 用這個邏輯肯定的機會。實際上你得到 $ N^2 $ 行為，這都是由於特徵值之間的相關性和控制特徵值大偏差的規律，特別是最小和最大偏差。具體來說，隨機特徵值與帶電粒子非常相似，並且不喜歡彼此靠近，因此它們相互排斥（奇怪的是與帶電粒子具有相同的勢場， $ \propto 1/r $ ， 在哪裡 $ r $ 是相鄰特徵值之間的距離）。因此，要求他們都持積極態度將是一個非常高的要求。
另外，由於隨機矩陣理論中的普遍性規律，我強烈懷疑上述概率 $ p_N $ 對於基本上任何“合理的”隨機矩陣，iid 條目的均值和標準偏差都可能是相同的。