如果是是Y獨立於X1X1X_{1}和X2X2X_{2}, 是否表明是是Y也獨立於X1+X2X1+X2X_{1}+X_{2}?

我們知道 $ Y $ 獨立於向量 $ X $ 意味著它獨立於所有組件的線性組合 $ X $ . 那我很好奇下面這句話的正確性：

如果 $ Y $ 獨立於 $ X_{1} $ 和 $ X_{2} $ , $ Y $ 也獨立於 $ X_{1}+X_{2} $ .

如果這是真的，是否意味著我們知道 $ Y $ 是邊緣獨立的所有組件 $ X $ , 那麼我們就來 $ Y $ 獨立於 $ X $ ?

有點令人驚訝的是，這不一定是真的。例如，考慮下表描述的聯合概率分佈。

三個隨機變量中的每一個都略微遵循伯努利（ $ 0.5 $ ) 分佈，很容易確認 $ Y \perp X_1 $ 和 $ Y \perp X_2 $ . 但是，考慮到概率 $$ P(Y=1, \ X_1 + X_2 = 1) = 0 $$ 另一方面 $$ P(Y=1)P(X_1+X_2 = 1) = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = 0.25. $$ 因此， $ Y $ 不獨立於 $ X_1 + X_2 $ .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/531260