如果是是Y獨立於X1X1X_{1}和X2X2X_{2}, 是否表明是是Y也獨立於X1+X2X1+X2X_{1}+X_{2}?

我們知道 Y 獨立於向量 X 意味著它獨立於所有組件的線性組合 X . 那我很好奇下面這句話的正確性：

如果 Y 獨立於 X1 和 X2 , Y 也獨立於 X1+X2 .

如果這是真的，是否意味著我們知道 Y 是邊緣獨立的所有組件 X , 那麼我們就來 Y 獨立於 X ?

有點令人驚訝的是，這不一定是真的。例如，考慮下表描述的聯合概率分佈。

三個隨機變量中的每一個都略微遵循伯努利（ 0.5 ) 分佈，很容易確認 Y⊥X1 和 Y⊥X2 . 但是，考慮到概率 P(Y=1, X1+X2=1)=0

另一方面 P(Y=1)P(X1+X2=1)=12×12=0.25.

因此， Y 不獨立於 X1+X2 .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/531260