實線上的均勻隨機數是有效分佈嗎？

是 $ \text{Unif}(- \infty, \infty ) $ 一個有效的分佈？

我試圖捕捉一個完全隨機數的想法（每個數字都有相同的機會被選擇），但我不確定是否可以使用有效的統計分佈來捕捉這個想法。

我在想可能有一些方法可以通過映射來做到這一點。例如，看起來我們可以映射範圍內的數字 $ (-1, 3) $ 通過函數到所有實數 $ f(x) = - \log (\frac{4}{x+1} - 1) $ 它的域為 $ (-1, 3) $ 和一系列 $ (-\infty, \infty) $ .

那麼，可以 $ \text{Unif}(-\infty, \infty) $ 以某種方式使用映射定義 $ \text{Unif}(-1, 3) $ ? 如果是這樣，您將如何定義此映射？

均勻分佈具有有限範圍 $ -\infty < a < b < \infty $ . 它的概率密度函數是 $ p(x) = \frac{1}{b - a} $ 為了 $ x \in (a, b) $ . 如果您將範圍設置為無窮大，您最終會得到 $ p(x) = \frac{1}{\infty } \to 0 $ . 它沒有整合到統一，因為它需要 $ p(x) = c $ 對於一些 $ c > 0 $ . 對於有限的支持，隨著支持的增長， $ c \to 0 $ . 如果你有不同的想法，對於每個 $ c > 0 $ 將存在具有有限支持的均勻分佈，其概率密度函數等於 $ \tfrac{1}{b - a} = c $ , 所以不可能有這樣的分佈有無限的支持。這不是一個適當的分佈。

至於您對映射的想法，請注意，使用這種轉換不會導致具有均勻分佈的值。試試下面的數值實驗。

x <- runif(1e6, -1, 3)
y <- -log(4/(x+1) - 1)
hist(y, breaks=100)

如您所見，結果看起來不像是均勻分佈。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/541479