我聽說隨機變量的比率或倒數通常是有問題的，因為沒有期望。這是為什麼？
標題就是問題。有人告訴我，隨機變量的比率和倒數通常是有問題的。意思是期望通常不存在。有一個簡單的，一般的解釋嗎？
**我想提供一個非常簡單、直觀的解釋。**這相當於看一張圖片：這篇文章的其餘部分解釋了圖片並從中得出結論。
**歸結為：**當有一個“概率質量”集中在附近時 $ X=0 $ , 附近的概率會很大 $ 1/X\approx \pm \infty $ ，導致其期望未定義。
讓我們專注於隨機變量，而不是完全一般的 $ X $ 具有連續密度的 $ f_X $ 在附近 $ 0 $ . 認為 $ f_X(0)\ne 0 $ . 從視覺上看，這些條件意味著 $ f $ 位於圍繞軸的上方 $ 0 $ :
的連續性 $ f_X $ 大約 $ 0 $ 意味著對於任何正高度 $ p $ 少於 $ f_X(0) $ 並且足夠小 $ \epsilon $ ，我們可以在該圖下方劃出一個以 $ x=0 $ , 有寬度 $ 2\epsilon $ , 和高度 $ p $ ， 如圖所示。這對應於將原始分佈表示為均勻分佈（具有權重 $ p\times 2\epsilon=2p\epsilon $ ) 以及剩下的。
換句話說，我們可能會想到 $ X $ 以下列方式產生：
- 有概率 $ 2p\epsilon $ , 從 Uniform 中抽取一個值 $ (-\epsilon,\epsilon) $ 分配。
- 否則，從密度與 $ f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)} $ . （這是右側以黃色繪製的函數。）
( $ I $ 是指標函數。）
步 $ (1) $ 表明對於任何 $ 0 \lt u \lt \epsilon $ , 的機會 $ X $ 在。。。之間 $ 0 $ 和 $ u $ 超過 $ p u / 2 $ . 等效地，這是一個機會 $ 1/X $ 超過 $ 1/u $ . 換句話說：寫作 $ S $ 對於倖存者函數 $ 1/X $
$$ S(x) = \Pr(1/X \gt x), $$
這個圖片顯示著 $ S(x) \gt p / (2x) $ 對所有人 $ x \gt 1/\epsilon $ .
我們現在完成了，因為這個事實 $ S $ 意味著期望未定義。 比較計算正部分期望所涉及的積分 $ 1/X $ , $ (1/X)_{+} = \max(0, 1/X) $ :
$$ E[(1/X){+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon). $$
（這是一個純粹的幾何論證：每個積分都代表一個可識別的二維區域，所有不等式都來自這些區域內的嚴格包含。事實上，我們甚至不需要知道最終積分是對數：有簡單的幾何顯示這個積分的論點是不同的。）
由於右側發散為 $ x\to\infty $ , $ E[(1/X)_{+}] $ 也有分歧。負面部分的情況 $ 1/X $ 是一樣的（因為矩形以 $ 0 $ )，同樣的論證表明了負部分的期望 $ 1/X $ 分歧。因此期望 $ 1/X $ 本身是未定義的。
順便說一句，同樣的論點表明，當 $ X $ 概率集中在一側 $ 0 $ ，例如任何指數或 Gamma 分佈（形狀參數小於 $ 1 $ )，那麼正期望仍然發散，但負期望為零。在這種情況下，期望是定義的，但是是無限的。
