我聽說隨機變量的比率或倒數通常是有問題的，因為沒有期望。這是為什麼？
標題就是問題。有人告訴我，隨機變量的比率和倒數通常是有問題的。意思是期望通常不存在。有一個簡單的，一般的解釋嗎？
**我想提供一個非常簡單、直觀的解釋。**這相當於看一張圖片：這篇文章的其餘部分解釋了圖片並從中得出結論。
**歸結為：**當有一個“概率質量”集中在附近時 X=0 , 附近的概率會很大 1/X≈±∞ ，導致其期望未定義。
讓我們專注於隨機變量，而不是完全一般的 X 具有連續密度的 fX 在附近 0 . 認為 fX(0)≠0 . 從視覺上看，這些條件意味著 f 位於圍繞軸的上方 0 :
的連續性 fX 大約 0 意味著對於任何正高度 p 少於 fX(0) 並且足夠小 ϵ ，我們可以在該圖下方劃出一個以 x=0 , 有寬度 2ϵ , 和高度 p ， 如圖所示。這對應於將原始分佈表示為均勻分佈（具有權重 p×2ϵ=2pϵ ) 以及剩下的。
換句話說，我們可能會想到 X 以下列方式產生：
- 有概率 2pϵ , 從 Uniform 中抽取一個值 (−ϵ,ϵ) 分配。
- 否則，從密度與 fX−pI(−ϵ,ϵ) . （這是右側以黃色繪製的函數。）
( I 是指標函數。）
步 (1) 表明對於任何 0<u<ϵ , 的機會 X 在。。。之間 0 和 u 超過 pu/2 . 等效地，這是一個機會 1/X 超過 1/u . 換句話說：寫作 S 對於倖存者函數 1/X
S(x)=Pr(1/X>x),
這個圖片顯示著 S(x)>p/(2x) 對所有人 x>1/ϵ .
我們現在完成了，因為這個事實 S 意味著期望未定義。 比較計算正部分期望所涉及的積分 1/X , (1/X)+=max(0,1/X) :
$$ E[(1/X){+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon). $$
（這是一個純粹的幾何論證：每個積分都代表一個可識別的二維區域，所有不等式都來自這些區域內的嚴格包含。事實上，我們甚至不需要知道最終積分是對數：有簡單的幾何顯示這個積分的論點是不同的。）
由於右側發散為 x→∞ , E[(1/X)+] 也有分歧。負面部分的情況 1/X 是一樣的（因為矩形以 0 )，同樣的論證表明了負部分的期望 1/X 分歧。因此期望 1/X 本身是未定義的。
順便說一句，同樣的論點表明，當 X 概率集中在一側 0 ，例如任何指數或 Gamma 分佈（形狀參數小於 1 )，那麼正期望仍然發散，但負期望為零。在這種情況下，期望是定義的，但是是無限的。
