具有正態均值的正態隨機變量的邊際分佈

我有一個關於計算兩個正態分佈的條件密度的問題。我有隨機變量 X|M∼N(M,σ2) 和 M∼N(θ,s2) ，條件和邊際密度由下式給出：

f(x|m)=1σ√2π⋅exp(−12(x−mσ)2),\[10pt]f(m)=1s√2π⋅exp(−12(m−θs)2).

我想知道邊際分佈 X . 我已將上述密度相乘以形成聯合密度，但我無法成功整合結果以獲得感興趣的邊際密度。我的直覺告訴我，這是一個參數不同的正態分佈，但我無法證明。

您的直覺是正確的-具有正態平均值的正態隨機變量的邊際分佈確實是正態的。為了看到這一點，我們首先通過完成平方將聯合分佈重新構建為正態密度的乘積：

f(x,m)=f(x|m)f(m)\[10pt]=12πσs⋅exp(−12[(x−mσ)2+(m−θs)2])\[10pt]=12πσs⋅exp(−12[(1σ2+1s2)m2−2(xσ2+θs2)m+(x2σ2+θ2s2)])\[10pt]=12πσs⋅exp(−12σ2s2[(s2+σ2)m2−2(xs2+θσ2)m+(x2s2+θ2σ2)])\[10pt]=12πσs⋅exp(−s2+σ22σ2s2[m2−2⋅xs2+θσ2s2+σ2⋅m+x2s2+θ2σ2s2+σ2])\[10pt]=12πσs⋅exp(−s2+σ22σ2s2(m−xs2+θσ2s2+σ2)2)\[6pt] ×exp((xs2+θσ2)22σ2s2(s2+σ2)−x2s2+θ2σ22σ2s2)\[10pt]=12πσs⋅exp(−s2+σ22σ2s2(m−xs2+θσ2s2+σ2)2)⋅exp(−12(x−θ)2s2+σ2)\[10pt]=√s2+σ22πσ2s2⋅exp(−s2+σ22σ2s2(m−xs2+θσ2s2+σ2)2)\[6pt]×√12π(s2+σ2)⋅exp(−12(x−θ)2s2+σ2)\[10pt]=N(m|xs2+θσ2s2+σ2,s2σ2s2+σ2)⋅N(x|θ,s2+σ2).

然後我們整合出來 m 獲得邊際密度 f(x)=N(x|θ,s2+σ2) . 從這個練習中我們看到 X∼N(θ,s2+σ2) .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/372062