Probability
聯合 MGF 獨立的充要條件
假設我有一個聯合矩生成函數對於與 CDF 的聯合分佈. 是獨立的充分必要條件和? 我查了幾本教科書，只提到了必要性：
這個結果是明確的，因為獨立意味著. 由於邊緣的 MGF 由聯合 MGF 確定，我們有：
但在網上搜索後，我只發現了一個短暫的參考，沒有證據，相反。下面的草圖證明可行嗎？
給定一個聯合 MGF, 這唯一地確定了和和他們的 MGF， 和. 單獨的邊際與許多其他可能的聯合分佈兼容，並且唯一地確定了一個聯合分佈，其中和是獨立的，有 CDF和 MGF：
因此，如果我們得到，對於我們原來的 MGF，, 這足以說明. 然後通過 MGF 的唯一性，我們原來的聯合分佈有和和是獨立的。
是的，這不僅是兩個隨機變量的獨立性的必要和充分條件，而且對於（有限）隨機變量序列也是如此。請查看Rinaldo B. Schinazi 撰寫的Probability with Statistical Applications第 242 頁上的示例 P.2 。或基於概率生成函數的計數數據計量經濟學分析第 259 頁 。請注意“力矩生成函數並不總是存在”。