Probability
頭數超過骰子總和的概率
讓 $ X $ 表示我們看到的點的總和 $ 100 $ 擲骰子，然後讓 $ Y $ 表示正面的數量 $ 600 $ 硬幣翻轉。我該如何計算 $ P(X > Y)? $
直覺上，我認為沒有一種很好的方法來計算概率。但是，我認為我們可以說 $ P(X > Y) \approx 1 $ 自從 $ E(X) = 350 $ , $ E(Y) = 300 $ , $ \text{Var}(X) \approx 292 $ , $ \text{Var}(Y) = 150 $ ，這意味著標準偏差非常小。
有沒有更好的方法來解決這個問題？我的解釋似乎很隨意，我想了解一種更好的方法。
另一種方法是模擬一百萬次比賽 $ X $ 和 $ Y $ 近似 $ P(X > Y) = 0.9907\pm 0.0002. $ [R中的模擬]
set.seed(825) d = replicate(10^6, sum(sample(1:6,100,rep=T))-rbinom(1,600,.5)) mean(d > 0) [1] 0.990736 2*sd(d > 0)/1000 [1] 0.0001916057 # aprx 95% margin of simulation error
@AntoniParellada評論的註釋：
在 R 中，該函數
sample(1:6, 100, rep=T)模擬 100 次擲骰；這個模擬的總和 $ X $ . 也是rbinom用於模擬二項式隨機變量的 R 代碼；在這裡 $ Y. $ 不同的是 $ D = X - Y. $ 該過程replicate產生一百萬個差異的向量d。然後(d > 0)是一百萬個TRUEs 和FALSEs的邏輯向量，mean其中 s 是它的比例TRUE——我們的答案。最後，最後一條語句給出了 s 比例的 95% 置信區間的誤差範圍TRUE（使用 2 而不是 1.96），作為對模擬答案準確性的現實檢查。[對於一百萬次迭代，人們通常期望概率的精度達到小數點後 2 或 3 步——有時距離 1/2 的概率更高。]
