神奇的金錢樹問題
我在洗澡的時候想到了這個問題，是受到投資策略的啟發。
假設有一棵神奇的金錢樹。每天，您可以向金錢樹提供一定數量的金錢，它要么將其增加三倍，要么以 50/50 的概率將其摧毀。您會立即註意到，平均而言，您將通過這樣做獲得金錢，並渴望利用金錢樹。但是，如果您一次提供所有資金，您將損失所有資金的 50%。不能接受！你是一個非常規避風險的人，所以你決定想出一個策略。你想盡量減少失去一切的可能性，但你也想盡可能多地賺錢！您提出以下建議：每天，您將當前資本的 20% 提供給金錢樹。假設您可以提供的最低價格是 1 美分，如果您以 10 美元開始，則需要連續虧損 31 次才能損失所有資金。更重要的是，你賺的錢越多，連輸的時間越長，你就會失去一切，太棒了！您很快就開始賺取大量現金。但是隨後一個想法突然出現在您的腦海中：您可以每天提供 30% 並賺更多的錢！但是等等，為什麼不提供 35% 呢？50%？有一天，你的眼睛裡有大美元符號，你帶著所有的數百萬跑到搖錢樹前，拿出你 100% 的現金，這棵搖錢樹很快就燒掉了。第二天你在麥當勞找到了一份工作。搖錢樹立即燒毀。第二天你在麥當勞找到了一份工作。搖錢樹立即燒毀。第二天你在麥當勞找到了一份工作。
您是否可以在不損失全部現金的情況下提供最佳百分比的現金？
（子）問題：
如果您應該提供一個最佳百分比，這是靜態的（即每天 20%）還是應該隨著您的資本增加而增加百分比？
通過每天提供 20% 的資金，您輸掉所有資金的機率會隨著時間的推移而減少還是增加？是否有一定比例的資金會隨著時間的推移而增加損失所有資金的機率？
這是一個眾所周知的問題。這被稱為凱利賭注。順便說一句，答案是 1/3。相當於最大化財富的對數效用。
凱利從花時間到無窮大開始，然後向後求解。既然你總是可以用連續複利的形式來表達回報，那麼你也可以逆轉這個過程並用對數來表達。我將使用日誌實用程序解釋，但日誌實用程序是一種方便。如果您將財富最大化 $ n\to\infty $ 那麼你最終會得到一個與日誌實用程序相同的功能。如果 $ b $ 是支付賠率，並且 $ p $ 是獲勝的概率，並且 $ X $ 是投資財富的百分比，那麼下面的推導將起作用。
對於二元投注， $ E(\log(X))=p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X) $ , 對於單個時期和單位財富。
$$ \frac{d}{dX}{E[\log(x)]}=\frac{d}{dX}[p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)] $$ $$ =\frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X} $$
將導數設置為零以找到極值，
$$ \frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X}=0 $$
交叉乘法，你最終得到$$ pb(1-X)-(1-p)(1+bX)=0 $$ $$ pb-pbX-1-bX+p+pbX=0 $$ $$ bX=pb-1+p $$ $$ X=\frac{bp-(1-p)}{b} $$
在你的情況下，$$ X=\frac{3\times\frac{1}{2}-(1-\frac{1}{2})}{3}=\frac{1}{3}. $$
您可以通過在聯合概率分佈上求解財富的預期效用，選擇分配並受到任何約束，輕鬆地將其擴展到多個或連續結果。有趣的是，如果您以這種方式執行它，包括約束條件，例如支付抵押貸款的能力等等，那麼您已經考慮了您的全部風險，因此您有一個風險調整或至少風險控制解決方案。
Desiderata 最初研究的實際目的與基於噪聲信號的賭注有關。在具體情況下，在表明蘇聯發射核武器的嘈雜電子信號上賭多少錢。美國和俄羅斯都曾進行過幾次近距離發射，顯然是錯誤的。你在一個信號上賭多少錢？