蒙蒂霍爾問題——我們的直覺在哪裡失敗了？
來自維基百科：
假設你在看一個遊戲節目，你可以選擇三扇門：一扇門後面是一輛車；另一扇門後面是一輛車；在其他人之後，山羊。你選擇一扇門，比如 1 號，主人知道門後是什麼，然後打開另一扇門，比如 3 號門，裡面有一隻山羊。然後他對你說：“你想選 2 號門嗎？” 改變你的選擇對你有利嗎？
答案當然是肯定的——但它非常不直觀。大多數人對概率有什麼誤解導致我們摸不著頭腦——或者說得更好些；我們可以從這個難題中汲取什麼一般規則，以便在未來更好地訓練我們的直覺？
考慮問題的兩個簡單變體：
- 沒有為參賽者打開大門。主人在挑選門時沒有提供任何幫助。在這種情況下，很明顯選擇正確門的機率是 1/3。
- 在要求參賽者進行猜測之前，主持人打開一扇門，露出一隻山羊。主持人展示山羊後，參賽者必須從剩下的兩個門中挑選汽車。在這種情況下，很明顯選擇正確門的機率是 1/2。
為了讓參賽者知道他的門選擇正確的概率，他必須知道有多少積極的結果可供他使用，並將該數字除以可能結果的數量。由於上面列出的兩個簡單案例，很自然地將所有可能的結果視為可供選擇的門的數量，將積極結果的數量視為隱藏汽車的門的數量。鑑於這個直觀的假設，即使主持人在參賽者猜測後打開一扇門露出山羊，任何一扇門包含汽車的概率仍然是 1/2。
實際上，概率識別出一組大於三扇門的可能結果，它識別出一組大於汽車的單個門的積極結果。在對問題的正確分析中，主持人向參賽者提供了新的信息，從而提出了一個新的問題：我最初的猜測是主持人提供的新信息足以告知我正確答案的概率是多少門？在回答這個問題時，一組積極的結果和一組可能的結果不是有形的門和汽車，而是山羊和汽車的抽象安排。三種可能的結果是三門後兩隻山羊和一輛車的三種可能安排。兩個積極的結果是參賽者的第一個猜測是錯誤的兩種可能的安排。在這兩種安排中，主持人給出的信息（剩下的兩扇門中的一扇是空的）足以讓參賽者確定隱藏汽車的門。
總而言之：
我們傾向於尋找我們選擇的物理表現（門和汽車）與概率問題中可能結果和期望結果的數量之間的簡單映射。在沒有向參賽者提供新信息的情況下，這可以正常工作。但是，如果為參賽者提供了更多信息（即，您沒有選擇的其中一扇門肯定不是汽車），則此映射會失效，並且要提出的正確問題會更加抽象。