一組測量指數的無偏估計？
假設我們有一個（可測量且行為良好的）集合 S⊆B⊂Rn ， 在哪裡 B 緊湊。此外，假設我們可以從均勻分佈中抽取樣本 B 勒貝格測度 λ(⋅) 並且我們知道度量 λ(B) . 例如，也許 B 是一個盒子 [−c,c]n 包含 S .
對於固定 α∈R , 有沒有一種簡單的無偏估計方法 e−αλ(S) 通過均勻採樣點 B 並檢查它們是在裡面還是外面 S ?
作為一個不太有效的例子，假設我們採樣 k 積分 p1,…,pk∼Uniform(B) . 然後我們可以使用蒙特卡洛估計\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{#{p_i\in S}}{k}\lambda(B).
但是，雖然 ˆλ 是一個無偏估計量 λ(S) , 我不認為是這樣的 e−αˆλ 是一個無偏估計量 e−αλ(S) . 有沒有辦法修改這個算法？
假設您有以下可用資源：
- 您有權訪問估算器 ˆλ .
- ˆλ 是公正的 λ(S) .
- ˆλ 幾乎肯定是在上面 C .
- 你知道常數 C ， 和
- 您可以形成獨立的實現 ˆλ 任意多次。
現在，請注意，對於任何 u>0 ，以下成立（通過泰勒展開 expx ):
e−αλ(S)=e−αC⋅eα(C−λ(S)) =e−αC⋅∑k⩾0(α[C−λ(S)])kk! =e−αC⋅eu⋅∑k⩾0e−u⋅(α[C−λ(S)])kk! =eu−αC⋅∑k⩾0uke−uk!(α[C−λ(S)]u)k
現在，執行以下操作：
- 樣本 K∼Poisson(u) .
- 形式 ˆλ1,⋯,ˆλK 作為獨立同分佈的無偏估計者 λ(S) .
- 返回估算器
\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left{ C - \hat{\lambda}_i \right}.
ˆΛ 是一個非負的、無偏的估計量 λ(S) . 這是因為
$$ \begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left{ C - \hat{\lambda}i \right} | K \right] \ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}i \right] \ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align} $$
因此
$$ \begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \ &= \mathbf{E}K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align} $$
通過前面的計算。