來自均勻分佈的隨機樣本的均值遵循什麼分佈？

例如，讓 X1,⋯,Xn 是一個隨機樣本 f(x|θ)=1,θ−1/2<x<θ+1/2 . 清楚地， Xi∼U(θ−1/2,θ+1/2) . 一些直覺會表明 ˉX∼f(x|θ)=1,θ−1/2<x<θ+1/2 . 但是，我認為這實際上並不正確。什麼樣的分佈 ˉX 跟隨？

首先，您可能想查看有關 Irwin-Hall 分佈的 Wikipedia。

除非 n 非常小 A=ˉX=1n∑ni=1Xi, 在哪裡 Xi 是獨立的 Unif(θ−.5,θ+.5) 擁有 Aaprx∼Norm(μ=θ,σ=1/√12n).

[近似值非常適合 n≥10. 事實上，在計算的早期，除了疼痛算術之外，進行運算的成本很高，模擬標準正態隨機變量的常用方法是評估 Z=∑121=1Xi−6, 在哪裡 Xi 生成為獨立的標準制服。]

R中的以下模擬使用一百萬個大小的樣本 n=12 和 θ=5.

set.seed(2020)  # for reproducibility
m = 10^6;  n = 12;  th = 5
a = replicate(m, mean(runif(n, th-.5,th+.5)))
mean(a);  sd(a); 1/sqrt(12*n)
[1] 5.000153      # aprx 5
[1] 0.08339642    # aprx 1/12
[1] 0.08333333    # 1/12

因此均值和標準差與中心極限定理的結果一致。在 R 中，Shapiro-Wilk 正態性檢驗僅限於 5000 個觀測值。我們展示了前 5000 個模擬樣本均值的結果。這些觀察結果符合正態分佈。

shapiro.test(a[1:5000])

   Shapiro-Wilk normality test

data:  a[1:5000]
W = 0.99979, p-value = 0.9257

下面的直方圖比較了模擬分佈 ˉX 與PDF Norm(μ=5,σ=1/12).

hdr = "Simulated Dist'n of Means of Uniform Samples: n = 12"
hist(a, br=30, prob=T, col="skyblue2", main=hdr)
curve(dnorm(x, 5, 1/sqrt(12*n)), add=T, lwd=2)
abline(v=5+c(-1,1)*1.96/sqrt(12*n), col="red")

這表明P(−1.96<ˉX−θ1/√12n<1.96)=0.95,

所以一個非常好的近似 95% 的置信區間 θ 是形式 (ˉX±1.96/√12n).

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/458341