這裡的“版本”是什麼意思？
在一篇論文中，我讀到了以下聲明：
“假設 1. 有一個版本 f(x) 即兩次連續可微”
注意 f(x)=E(Y|x) 是一個未知函數，使用數據進行核回歸估計 Yi,Xini=1 .
我的問題是連續的函數的“版本”是什麼意思？該假設與以下陳述有何不同：
" f(x) 是兩次連續可微"
E(Y∣x) 是一個條件期望，這意味著它是一個隨機變量。
當對那些顯然不會改變與它們相關的概率的變量進行更改時，隨機變量的分佈屬性不會改變。特別是，當 X 和 X′ 是在同一概率空間上定義的隨機變量 Ω 並且它們不同的機會為零，我們說每個都是另一個的“版本”。
也有人說隨機變量的兩個版本幾乎肯定相等。
正式地， X′ 是一個版本 X 有活動時 E⊂Ω 為此
- P(E)=0 ( E 是一組測量零）和
- X∣Ω∖E=X′∣Ω∖E ( X 和 X′ 在補碼上是相同的函數 E ）。
這是概率公理和定義的直接（和明顯）結果 X 和 X′ 具有相同的分佈函數，並且 P(X≠X′)=0.
**例如，**讓 X 是具有標準正態分佈的隨機變量。定義 X′=X 對所有人 ω∈Ω 除了哪個 X(ω)=0, 我們可以在哪裡定義 X′=1 （說）。因為正態分佈等於任何特定值的機會為零，例如 0, 這不會改變任何分佈特性 X: X′ 仍然有一個標準的正態分佈。
相同的概念適用於任何度量空間。 根據上下文，有可能 f 在這個問題被認為是一個功能 f:R→R. 在這種情況下，“版本”的含義是指 Lebesgue 測度而不是概率測度。通常的術語是函數的兩個“版本”幾乎在任何地方都是相等的。 因此，問題中的斷言可能意味著存在一個函數 g 和一套 E⊂R Lebesgue 對哪個屬性的測量為零 (2) 以上成立：也就是說，除了他們的價值觀 E, f 和 g 是相同的功能。
為什麼這很重要和有趣？ 因為，例如，函數 g 被定義為
g(x)=x2
處處光滑，但功能 f 定義為等於 g 在無理數上，否則（比如說）等於 −1 對所有有理數在任何地方都沒有導數。然而，由於有理數的勒貝格測度為零， g 是一個版本 f. 通過這種方式，我們剝離了“瑣碎”的方面 f 專注於其基本的潛在“結構”，如 g.