這裡的“版本”是什麼意思？
在一篇論文中，我讀到了以下聲明：
“假設 1. 有一個版本 $ f(x) $ 即兩次連續可微”
注意 $ f(x)=E(Y|x) $ 是一個未知函數，使用數據進行核回歸估計 $ {Y_{i},X_{i}}_{i=1}^{n} $ .
我的問題是連續的函數的“版本”是什麼意思？該假設與以下陳述有何不同：
" $ f(x) $ 是兩次連續可微"
$ E(Y\mid x) $ 是一個條件期望，這意味著它是一個隨機變量。
當對那些顯然不會改變與它們相關的概率的變量進行更改時，隨機變量的分佈屬性不會改變。特別是，當 $ X $ 和 $ X^\prime $ 是在同一概率空間上定義的隨機變量 $ \Omega $ 並且它們不同的機會為零，我們說每個都是另一個的“版本”。
也有人說隨機變量的兩個版本幾乎肯定相等。
正式地， $ X^\prime $ 是一個版本 $ X $ 有活動時 $ \mathcal{E}\subset\Omega $ 為此
- $ \mathbb{P}(\mathcal E) = 0 $ ( $ \mathcal E $ 是一組測量零）和
- $ X\mid_{\Omega\setminus\mathcal E} = X^\prime\mid_{\Omega\setminus\mathcal E} $ ( $ X $ 和 $ X^\prime $ 在補碼上是相同的函數 $ \mathcal E $ ）。
這是概率公理和定義的直接（和明顯）結果 $ X $ 和 $ X^\prime $ 具有相同的分佈函數，並且 $ \mathbb{P}(X\ne X^\prime)=0. $
**例如，**讓 $ X $ 是具有標準正態分佈的隨機變量。定義 $ X^\prime = X $ 對所有人 $ \omega\in\Omega $ 除了哪個 $ X(\omega)=0, $ 我們可以在哪裡定義 $ X^\prime = 1 $ （說）。因為正態分佈等於任何特定值的機會為零，例如 $ 0, $ 這不會改變任何分佈特性 $ X: $ $ X^\prime $ 仍然有一個標準的正態分佈。
相同的概念適用於任何度量空間。 根據上下文，有可能 $ f $ 在這個問題被認為是一個功能 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. $ 在這種情況下，“版本”的含義是指 Lebesgue 測度而不是概率測度。通常的術語是函數的兩個“版本”幾乎在任何地方都是相等的。 因此，問題中的斷言可能意味著存在一個函數 $ g $ 和一套 $ \mathcal{E}\subset\mathbb{R} $ Lebesgue 對哪個屬性的測量為零 $ (2) $ 以上成立：也就是說，除了他們的價值觀 $ \mathcal E, $ $ f $ 和 $ g $ 是相同的功能。
為什麼這很重要和有趣？ 因為，例如，函數 $ g $ 被定義為
$$ g(x) = x^2 $$
處處光滑，但功能 $ f $ 定義為等於 $ g $ 在無理數上，否則（比如說）等於 $ -1 $ 對所有有理數在任何地方都沒有導數。然而，由於有理數的勒貝格測度為零， $ g $ 是一個版本 $ f. $ 通過這種方式，我們剝離了“瑣碎”的方面 $ f $ 專注於其基本的潛在“結構”，如 $ g. $