Probability
它是什麼意思𝜎σsigma- 由隨機變量生成的代數?
通常,在我(自學)統計的過程中,我遇到了術語“-由隨機變量生成的代數”。我不明白維基百科上的定義,但最重要的是我沒有得到它背後的直覺。我們為什麼/什麼時候需要由隨機變量生成的代數?它們的含義是什麼?我知道以下內容:
- 一個- 集合上的代數是子集的非空集合其中包含, 在補碼和可數並集下閉合。
- 我們介紹-代數在無限樣本空間上建立概率空間。特別是,如果是不可數無限的,我們知道可能存在不可測量的子集(我們無法定義概率的集合)。因此,我們不能只使用 作為我們的一組事件. 我們需要一個較小的集合,它仍然足夠大,以便我們可以定義有趣事件的概率,並且我們可以討論一系列隨機變量的收斂性。
簡而言之,我認為我對代數。我想對由隨機變量生成的代數:定義,我們為什麼需要它們,直覺,一個例子……
考慮一個隨機變量 X . 我們知道 X 只不過是一個可測量的函數 (Ω,A) 進入 (R,B(R)) , 在哪裡 B(R) 是實線的 Borel 集。根據可測量性的定義,我們知道我們有
X−1(B)∈A,∀B∈B(R)
但在實踐中,Borel 集的原像可能不是全部 A 但相反,它們可能構成它的一個更粗略的子集。為了看到這一點,讓我們定義
\mathcal{\Sigma} = \left{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right}
使用原像的屬性,不難證明 Σ 是一個 sigma 代數。緊隨其後的是 Σ⊂A , 因此 Σ 是一個 sub-sigma 代數。此外,通過定義很容易看出映射 X:(Ω,Σ)→(R,B(R)) 是可測量的。 Σ 實際上是最小的 sigma 代數 X 一個隨機變量,因為所有其他此類 sigma 代數至少包括 Σ . 因為我們正在處理隨機變量的原像 X , 我們稱之為 Σ 由隨機變量誘導的 sigma 代數 X .
這是一個極端的例子:考慮一個恆定的隨機變量 X , 那是, X(ω)≡α . 然後 X−1(B), B∈B(R) 等於 Ω 或者 ∅ 取決於是否 α∈B . 這樣生成的 sigma 代數是微不足道的,因此,它肯定包含在 A .
希望這可以幫助。