它是什麼意思𝜎σsigma- 由隨機變量生成的代數？
通常，在我（自學）統計的過程中，我遇到了術語“-由隨機變量生成的代數”。我不明白維基百科上的定義，但最重要的是我沒有得到它背後的直覺。我們為什麼/什麼時候需要由隨機變量生成的代數？它們的含義是什麼？我知道以下內容：
- 一個- 集合上的代數是子集的非空集合其中包含, 在補碼和可數並集下閉合。
- 我們介紹-代數在無限樣本空間上建立概率空間。特別是，如果是不可數無限的，我們知道可能存在不可測量的子集（我們無法定義概率的集合）。因此，我們不能只使用 作為我們的一組事件. 我們需要一個較小的集合，它仍然足夠大，以便我們可以定義有趣事件的概率，並且我們可以討論一系列隨機變量的收斂性。
簡而言之，我認為我對代數。我想對由隨機變量生成的代數：定義，我們為什麼需要它們，直覺，一個例子……
考慮一個隨機變量 $ X $ . 我們知道 $ X $ 只不過是一個可測量的函數 $ \left(\Omega, \mathcal{A} \right) $ 進入 $ \left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right) $ ， 在哪裡 $ \mathcal{B}(\mathbb{R}) $ 是實線的 Borel 集。根據可測量性的定義，我們知道我們有
$$ X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right) $$
但在實踐中，Borel 集的原像可能不是全部 $ \mathcal{A} $ 但相反，它們可能構成它的一個更粗略的子集。為了看到這一點，讓我們定義
$$ \mathcal{\Sigma} = \left{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right} $$
使用原像的屬性，不難證明 $ \mathcal{\Sigma} $ 是一個 sigma 代數。緊隨其後的是 $ \mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A} $ ， 因此 $ \mathcal{\Sigma} $ 是一個 sub-sigma 代數。此外，通過定義很容易看出映射 $ X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right) $ 是可測量的。 $ \mathcal{\Sigma} $ 實際上是最小的 sigma 代數 $ X $ 一個隨機變量，因為所有其他此類 sigma 代數至少包括 $ \mathcal{\Sigma} $ . 因為我們正在處理隨機變量的原像 $ X $ ， 我們稱之為 $ \mathcal{\Sigma} $ 由隨機變量誘導的 sigma 代數 $ X $ .
這是一個極端的例子：考慮一個恆定的隨機變量 $ X $ ， 那是， $ X(\omega) \equiv \alpha $ . 然後 $ X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) $ 等於 $ \Omega $ 或者 $ \varnothing $ 取決於是否 $ \alpha \in B $ . 這樣生成的 sigma 代數是微不足道的，因此，它肯定包含在 $ \mathcal{A} $ .
希望這可以幫助。