我正在學習最大似然估計。

根據這篇文章，正態分佈的 PDF 日誌如下所示：

$$ \log{\left(f\left(x_i;,\mu,\sigma^2\right)\right)}

• \frac{n}{2} \log{\left(2 \pi\right)}
• \frac{n}{2} \log{\left(\sigma^2\right)}
• \frac{1}{2 \sigma^2} \sum{{\left(x_i - \mu\right)}^2} \tag{1} $$

根據任何概率論教科書，正態分佈的 PDF 公式： 1σ√2πe−(x−μ)22σ2where −∞<x<∞

取表達式 2 的對數產生

\begin{align}
\ln\left(\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi}}
e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma ^2}}\right) &=
\ln\left(\frac {1}{\sigma \sqrt {2\pi}}\right)+\ln{\left(e^{-\frac {(x - \mu)^2}{2\sigma ^2}}\right)} \tag{3} \[5px]
&=-\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2} \ln\left(2\pi\right) - \frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma ^2} \tag{4}
\end{align}

這與等式 1 非常不同。

等式 1 對嗎？我錯過了什麼？

對於單個觀察值 x 你有對數似然：

ℓx(μ,σ2)=−lnσ−12ln(2π)−12(x−μσ)2.

對於觀察值樣本 x=(x1,…,xn) 然後你有：

ℓx(μ,σ2)=n∑i=1ℓxi(μ,σ2)=−nlnσ−n2ln(2π)−12σ2n∑i=1(xi−μ)2.

（請注意，在這兩種情況下，您都可以從對數似然中刪除常數項，但它不是採樣密度的對數。）

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/404191