為什麼 P(A,B|C)/P(B|C) = P(A|B,C)？
我明白. 條件是 A 和 B 的交集除以 B 的整個區域。
但為什麼是?
你能給出一些直覺嗎？
不應該是：?
如果一切都以某個事件為條件，那麼對於無條件概率為真的任何概率結果仍然為真。
你知道，根據定義， $$ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1} $$所以如果我們把一切都設置在 $ C $ 發生了，我們明白了 $$ P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2} $$ 這是令您困惑和驚訝的結果；你認為應該是 $$ P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}. $$
所以，讓我們從設置開始 $ D = B\cap C $ 寫 $ P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) $ 如在 $ (1) $ 要得到 $$ \begin{align} P(A\mid (B \cap C)) &= P(A\mid D)\ &= \frac{P(A\cap D)}{P(D)}\ &= \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)}\ &= \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}\end{align} $$ 這就是您認為的結果。但請注意，如果你乘除右邊 $ (3) $ 經過 $ P(C)) $ ， 你可以得到 $$ \begin{align} P(A\mid (B \cap C)) &= \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\times \frac{P(C)}{P(C)}\ &= \dfrac{\dfrac{P(A\cap B \cap C)}{P(C)}}{\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}}\ &= \dfrac{P(A\cap B \mid C)}{P(B\mid C)} \end{align} $$ 這只是 $ (2) $ . 簡而言之，關於直覺 $ (2) $ 是不是它只是 $ (3) $ （您同意）根據以同一事件為條件的條件概率重新編寫 $ C $ .