為什麼大數定律不適用於蘋果股價？
這是紐約時報的一篇文章，名為“Apple 面對大數定律”。它試圖用大數定律來解釋蘋果股價的上漲。這篇文章有哪些統計（或數學）錯誤？
問題來了：蘋果太大了，它違反了大數定律。
該定律也被稱為黃金定理，其證明歸功於 17 世紀的瑞士數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），該定律指出，在大量結果樣本中，變量將恢復為平均值。就最大的公司而言，這表明隨著這些公司的規模越來越大，高收益增長和股價的快速上漲將放緩。
這個亂七八糟的東西，其實是指三種不同的現象！
- （各種）大數定律是概率論的基礎，用於描述有理由期望大樣本能夠提供關於被抽樣的過程或總體的越來越好的信息的情況。事實上，雅各布·伯努利是第一個認識到需要陳述和證明這樣一個定理的人，該定理出現在 1713 年他死後的Ars Conjectandi中（由侄子 Nicholas Bernoulli 編輯）。
對於蘋果的增長，沒有明顯的有效應用這樣的法律。 2. 1880 年代，弗朗西斯·高爾頓首先認識到向均值的回歸。然而，它在業務分析師中經常被低估。例如，在 1933 年初（大蕭條時期），Horace Secrist 發表了他的代表作《商業中平庸的勝利》。 在其中，他大量檢查了業務時間序列，並在每種情況下都發現了向均值回歸的證據。但是，沒有認識到這是一個不可避免的數學問題現象，他堅稱自己發現了一個商業發展的基本道理！這種將純數學模式誤認為是某種潛在力量或趨勢的結果的謬誤（現在通常稱為“回歸謬誤”）讓人想起引用的段落。
（值得注意的是，Secrist 是一位傑出的統計學家，是當時出版的最流行的統計教科書之一的作者。在 JSTOR 上，您可以找到Harold Hotelling 於 1933 年末在 JASA 上發表的對Triumph的撕裂評論。在霍特林在隨後與 Secrist 的信件往來中寫道
我的評論……主要是為了警告讀者不要得出結論說商業公司有變得平庸的趨勢……通過昂貴且長期的數值研究來“證明”這樣的數學結果……類似於證明乘法通過將大象排列成行和列，然後對許多其他種類的動物做同樣的事情。表演雖然可能很有趣，並具有一定的教學價值，但對動物學或數學都不是重要的貢獻。
[JASA 卷。29, No. 186（1934 年 6 月），第 198 和 199 頁]。）
紐約時報的文章似乎對蘋果的商業數據犯了同樣的錯誤。 3. 但是，如果我們繼續閱讀本文，我們很快就會發現作者的意圖：
如果蘋果的股價在未來十年內每年增長 20%，遠低於目前的迅猛速度，那麼到 2022 年，其 5000 億美元的市值將超過 3萬億美元。
當然，這是關於指數增長外推的陳述。因此，它包含馬爾薩斯人口預測的迴聲。然而，外推的危害並不局限於指數增長。馬克吐溫（塞繆爾克萊門茨）在《密西西比河上的生活》（1883 年，第 17 章）中嘲笑肆無忌憚的推斷者：
現在，如果我想成為那些笨重的科學人中的一員，並“繼續”證明……通過近年來發生的事情，在遙遠的將來會發生什麼，這裡有多大的機會！…請注意：–
在一百七十六年的時間裡，下密西西比河已經縮短了兩百四十二英里。這是平均每年一英里和三分之一的小事。因此，任何冷靜的人，只要不是瞎子或白痴，都可以看到，就在100萬年前的明年11月的“老鮞粒志留紀時期”，密西西比河下游長達130萬里以上，卡在像釣魚竿一樣在墨西哥灣上空。同樣的道理，任何人都可以看到，七百四十二年後，密西西比河下游將只有一英里四分之三長，開羅和新奧爾良將匯入他們的街道，在一條單一市長和一個共同的市議員委員會。科學有一些令人著迷的東西。人們從如此微不足道的事實投資中獲得瞭如此巨大的猜想回報。”
（添加了重點。）吐溫的諷刺與文章中商業分析師羅伯特·西赫拉（Robert Cihra）的引述相比毫不遜色：
如果你對未來進行足夠遠的推斷，為了維持這種增長，蘋果必須向地球上的每個男人、女人、孩子、動物和岩石出售 iPhone。
（不幸的是，Cihra 似乎沒有聽從他自己的建議：他將這隻股票評為“買入”。他可能是對的，不是基於優點，而是基於更大的傻瓜理論。）
如果我們把這篇文章理解為“小心將以前的增長推斷到未來”，我們會從中得到很多。那些認為這家公司值得買入的投資者，因為它的市盈率很低（其中包括文章中引用的幾位著名的基金經理），並不比一個多世紀前諷刺的“笨重的科學家”吐溫好。
更好地了解 Bernoulli、Hotelling 和 Twain 會提高本文的準確性和可讀性，但最終似乎得到了正確的信息。