Proof
分位數回歸估計公式
我已經看到了分位數回歸估計器的兩種不同表示形式，它們是
和
在哪裡. 有人可以告訴我如何顯示這兩個表達式的等價性嗎？這是我到目前為止所嘗試的，從第二個表達式開始。
但是從這一點開始，我陷入瞭如何進行的困境。請注意，這不是家庭作業或作業問題。非常感謝。
如果您還記得，OLS 最小化了殘差平方和而中值回歸最小化絕對殘差的總和. 中位數或最小絕對偏差 (LAD) 估計量是分位數回歸的一種特殊情況，您有. 在分位數回歸中，我們最小化接收不對稱權重以進行過度預測的絕對誤差總和和為低估。您可以從 LAD 表示開始，並將其擴展為加權數據部分的總和和鑑於他們的價值，並按如下方式處理：
這只是利用了這樣一個事實然後您可以將指標函數重寫為滿足指標條件的觀察值的總和。這將給出您為分位數回歸估計量寫下的第一個表達式。
第二行從總和中取出權重。第三行去掉了絕對值並用實際值替換它們。根據定義任何時候都是負數，因此這條線的符號發生了變化。第四行相乘. 然後你就會意識到
並用您到達第五行的相應指標替換第四行中的中間項的總和。分解然後替換和產生估計量的第二個表達式。
這顯示了這兩個表達式是如何等價的。