泊松置信區間和 p 值之間的衝突

測試結果是否 $ x=10 $ 計數與速率兼容 $ \lambda=5.22 $ 在 R 中：

> poisson.test(x=10,r=5.22,alternative='two.sided')

Exact Poisson test

data:  10 time base: 1
number of events = 10, time base = 1, p-value = 0.04593
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 5.22
95 percent confidence interval:
 4.795389 18.390356
sample estimates:
event rate 
       10 

這個結果導致了兩個相互矛盾的結論：

1. p 值小於 0.05，這表明 $ \lambda\neq{5.22} $
2. 但是 95% 的置信區間是 $ [4.795389 < 5.22 < 18.390356] $ ，這使以下假設保持活力 $ \lambda=5.22 $

因此，這個例子違反了假設檢驗和置信區間之間的對偶性。這怎麼可能？

有幾種方法可以定義雙面 $ p $ - 在這種情況下的值。Michael Fay 在他的文章中列出了三個。以下內容主要來自他的文章。

假設您有一個離散的檢驗統計量 $ t $ 有隨機變量 $ T $ 這樣較大的值 $ T $ 意味著感興趣的參數值較大， $ \theta $ . 讓 $ F_\theta(t)=\Pr[T\leq t;\theta] $ 和 $ \bar{F}\theta(t)=\Pr[T\geq t;\theta] $ . 假設空值是 $ \theta_0 $ . 單方面的 $ p $ -值然後表示為 $ F{\theta_0}(t), \bar{F}_{\theta_0}(t) $ ， 分別。

列出的三種定義雙面的方法 $ p $ -值如下：

$ \textbf{central:} $ $ p_{c} $ 是單面最小值的 2 倍 $ p $ - 以 1 為界的值： $$ p_c=\min{1,2\times\min(F_{\theta_0}(t), \bar{F}_{\theta_0}(t))}. $$

$ \textbf{minlike:} $ $ p_{m} $ 是可能性小於或等於觀察到的可能性的結果的概率之和： $$ p_m=\sum_{T:f(T)\leq f(t)} f(T) $$ 在哪裡 $ f(t) = \Pr[T=t;\theta_0] $ .

$ \textbf{blaker:} $ $ p_b $ 將觀察到的較小尾部的概率與不超過觀察到的概率的相反尾部的最小概率相結合。這可以表示為： $$ p_b=\Pr[\gamma(T)\leq\gamma(t)] $$ 在哪裡 $ \gamma(T)=\min{F_{\theta_0}(T), \bar{F}_{\theta_0}(T))} $ .

如果 $ p(\theta_0) $ 是一個雙面 $ p $ 價值測試 $ H_0:\theta=\theta_0 $ ，那麼它的 $ 100(1-\alpha)% $ 匹配置信區間是包含所有 $ \theta_0 $ 這樣 $ p(\theta_{0})>\alpha $ . 匹配置信限為 $ \textbf{central} $ 測試是 $ (\theta_{L},\theta_U) $ 這是解決方案： $$ \alpha/2=\bar{F}{\theta_L}(t) $$ 和 $$ \alpha/2=F{\theta_U}(t). $$

矛盾的產生是因為poisson.test回報 $ p_m $ ( $ \textrm{minlike} $ ) 作為 $ p $ -值，但置信限是基於 $ \textrm{central} $ 測試！

包exactci返回正確匹配 $ p $ -值和置信限（您可以使用選項設置方法tsmethod）：

library(exactci)

poisson.exact(x=10, r=5.22, tsmethod = "central")

   Exact two-sided Poisson test (central method)

data:  10 time base: 1
number of events = 10, time base = 1, p-value = 0.08105
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 5.22
95 percent confidence interval:
 4.795389 18.390356
sample estimates:
event rate 
       10 

現在兩者之間沒有衝突 $ p $ -值和置信區間。在極少數情況下，即使是exactci函數也會導致不一致，這在 Michael Fays 的文章中有所提及。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/488773