解釋 eigen 如何幫助反轉矩陣

我的問題與在geoR:::.negloglik.GRFor中利用的計算技術有關geoR:::solve.geoR。

在線性混合模型設置中：

在哪裡和分別是固定效應和隨機效應。還， 在估計效果時，需要計算

這通常可以使用類似的東西來完成solve(XtS_invX,XtS_invY)，但有時幾乎是不可逆的，所以geoR使用技巧

t.ei=eigen(XtS_invX)
crossprod(t(t.ei$vec)/sqrt(t.ei$val))%*%XtS_invY

（可以在geoR:::.negloglik.GRF和中看到geoR:::.solve.geoR）這相當於分解

在哪裡因此

兩個問題：

1. 這種特徵分解如何幫助反演?
2. 還有其他可行的替代方案（強大且穩定）嗎？（例如qr.solve或chol2inv？）

1）特徵分解並沒有那麼大的幫助。它肯定比 Cholesky 分解在數值上更穩定，如果您的矩陣是病態/幾乎奇異/具有高條件數，這將很有幫助。所以你可以使用特徵分解，它會給你一個解決問題的方法。但幾乎​​不能保證它會是正確的解決方案。老實說，一旦你明確地反轉，傷害已經造成。成型只會讓事情變得更糟。特徵分解將幫助您贏得戰鬥，但戰爭肯定會失敗。

2）不知道你的問題的細節，這就是我會做的。首先，對上執行 Cholesky 分解以便. 然後執行 QR 分解以便. 請務必計算使用前向替換 -不要顯式反轉. 那麼你得到：

從這裡，你可以解決任何你想要的右手邊。但同樣，請不要明確反轉（或者）。必要時使用前向和後向替換。 順便說一句，我很好奇你等式的右邊。你寫的是. 你確定不是? 因為如果是這樣，您可以在右側使用類似的技巧：

然後當你去解決：

當然，您永遠不會顯式反轉最後一步，對吧？這只是一個反向替換。:-)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/179185