擬合 GARCH (1,1) - R 中具有協變量的模型

我在時間序列建模方面有一些經驗，比如簡單的 ARIMA 模型等等。現在我有一些表現出波動性聚類的數據，我想嘗試從對數據擬合 GARCH (1,1) 模型開始。

我有一個數據系列和一些我認為會影響它的變量。所以在基本的回歸術語中，它看起來像：

但是我完全不知道如何將其實現為 GARCH (1,1) - 模型？我已經查看了rugarch-package 和fGarch-package in R，但是除了可以在 Internet 上找到的示例之外，我還沒有做任何有意義的事情。

這是一個使用rugarch包和一些假數據的實現示例。該函數ugarchfit允許在平均方程中包含外部回歸量（注意下面代碼中的 in 的使用external.regressors）fit.spec。

為了修正符號，模型是

在哪裡和表示時間的協變量，以及對參數和創新過程的“通常”假設/要求. 示例中使用的參數值如下。

## Model parameters
nb.period  <- 1000
omega      <- 0.00001
alpha      <- 0.12
beta       <- 0.87
lambda     <- c(0.001, 0.4, 0.2)

下圖顯示了協變量系列和以及系列. 下面R提供了用於生成它們的代碼。

## Dependencies
library(rugarch)

## Generate some covariates
set.seed(234)
ext.reg.1 <- 0.01 * (sin(2*pi*(1:nb.period)/nb.period))/2 + rnorm(nb.period, 0, 0.0001)
ext.reg.2 <- 0.05 * (sin(6*pi*(1:nb.period)/nb.period))/2 + rnorm(nb.period, 0, 0.001)
ext.reg   <- cbind(ext.reg.1, ext.reg.2)

## Generate some GARCH innovations
sim.spec    <- ugarchspec(variance.model     = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1,1)), 
                         mean.model         = list(armaOrder = c(0,0), include.mean = FALSE),
                         distribution.model = "norm", 
                         fixed.pars         = list(omega = omega, alpha1 = alpha, beta1 = beta))
path.sgarch <- ugarchpath(sim.spec, n.sim = nb.period, n.start = 1)
epsilon     <- as.vector(fitted(path.sgarch))

## Create the time series
y <- lambda[1] + lambda[2] * ext.reg[, 1] + lambda[3] * ext.reg[, 2] + epsilon

## Data visualization
par(mfrow = c(3,1))
plot(ext.reg[, 1], type = "l", xlab = "Time", ylab = "Covariate 1")
plot(ext.reg[, 2], type = "l", xlab = "Time", ylab = "Covariate 2")
plot(y, type = "h", xlab = "Time")
par(mfrow = c(1,1))

ugarchfit如下進行擬合。

## Fit
fit.spec <- ugarchspec(variance.model     = list(model = "sGARCH",
                                                garchOrder = c(1, 1)), 
                      mean.model         = list(armaOrder = c(0, 0),
                                                include.mean = TRUE,
                                                external.regressors = ext.reg), 
                      distribution.model = "norm")
fit      <- ugarchfit(data = y, spec = fit.spec)

參數估計是

## Results review
fit.val     <- coef(fit)
fit.sd      <- diag(vcov(fit))
true.val    <- c(lambda, omega, alpha, beta)
fit.conf.lb <- fit.val + qnorm(0.025) * fit.sd
fit.conf.ub <- fit.val + qnorm(0.975) * fit.sd
> print(fit.val)
# mu mxreg1 mxreg2 omega alpha1 beta1 
#1.724885e-03 3.942020e-01 7.342743e-02 1.451739e-05 1.022208e-01 8.769060e-01 
> print(fit.sd)
#[1] 4.635344e-07 3.255819e-02 1.504019e-03 1.195897e-10 8.312088e-04 3.375684e-04

對應的真值為

> print(true.val)
#[1] 0.00100 0.40000 0.20000 0.00001 0.12000 0.87000

下圖顯示了具有 95% 置信區間的參數估計值和真實值。下面R提供了用於生成它的代碼。

plot(c(lambda, omega, alpha, beta), pch = 1, col = "red",
    ylim = range(c(fit.conf.lb, fit.conf.ub, true.val)),
    xlab = "", ylab = "", axes = FALSE)
box(); axis(1, at = 1:length(fit.val), labels = names(fit.val)); axis(2)
points(coef(fit), col = "blue", pch = 4)
for (i in 1:length(fit.val)) {
   lines(c(i,i), c(fit.conf.lb[i], fit.conf.ub[i]))
}
legend( "topleft", legend = c("true value", "estimate", "confidence interval"),
       col = c("red", "blue", 1), pch = c(1, 4, NA), lty = c(NA, NA, 1), inset = 0.01)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/93815