如何計算 R 中的 varimax-rotated 主成分？
我在 25 個變量上運行 PCA，並使用
prcomp.prc <- prcomp(pollutions, center=T, scale=T, retx=T)然後我對這些組件進行了 varimax 旋轉。
varimax7 <- varimax(prc$rotation[,1:7])現在我希望對 PCA 旋轉數據進行 varimax 旋轉（因為它不是 varimax 對象的一部分 - 只有載荷矩陣和旋轉矩陣）。我讀到要做到這一點，你將旋轉矩陣的轉置乘以數據的轉置，所以我會這樣做：
newData <- t(varimax7$rotmat) %*% t(prc$x[,1:7])但這沒有意義，因為上面的矩陣轉置的維度是和分別所以我將只剩下一個矩陣行，而不是行…有誰知道我在這裡做錯了什麼或我的最後一行應該是什麼？之後我只需要轉回嗎？
“輪換”是因子分析中發展起來的一種方法；將旋轉（例如 varimax）應用於loadings，而不是應用於協方差矩陣的特徵向量。載荷是由各自特徵值的平方根縮放的特徵向量。在 varimax 旋轉之後，加載向量不再是正交的（即使旋轉被稱為“正交”），所以不能簡單地計算數據在旋轉加載方向上的正交投影。
@FTusell 的回答假設 varimax 旋轉應用於特徵向量（而不是加載）。這將是非常不尋常的。詳情請看我的PCA+varimax詳解：PCA後跟一個旋轉（比如varimax）還是PCA嗎？簡而言之，如果我們看一下數據矩陣的 SVD，然後旋轉載荷意味著插入對於一些旋轉矩陣如下：
如果將旋轉應用於載荷（通常是這樣），那麼至少有三種簡單的方法可以在 R 中計算 varimax-rotated PCs：
- 它們很容易通過函數獲得
psych::principal（證明這確實是標準方法）。請注意，它返回標準化分數，即所有 PC 都有單位方差。- 可以手動使用
varimax函數旋轉載荷，然後使用新旋轉的載荷得到分數；需要將數據與旋轉載荷的轉置偽逆相乘（參見@ttnphns 在此答案中的公式）。這也將產生標準化的分數。- 可以使用
varimax函數旋轉載荷，然後使用$rotmat旋轉矩陣旋轉得到的標準化分數prcomp。所有三種方法產生相同的結果：
irisX <- iris[,1:4] # Iris data ncomp <- 2 pca_iris_rotated <- psych::principal(irisX, rotate="varimax", nfactors=ncomp, scores=TRUE) print(pca_iris_rotated$scores[1:5,]) # Scores returned by principal() pca_iris <- prcomp(irisX, center=T, scale=T) rawLoadings <- pca_iris$rotation[,1:ncomp] %*% diag(pca_iris$sdev, ncomp, ncomp) rotatedLoadings <- varimax(rawLoadings)$loadings invLoadings <- t(pracma::pinv(rotatedLoadings)) scores <- scale(irisX) %*% invLoadings print(scores[1:5,]) # Scores computed via rotated loadings scores <- scale(pca_iris$x[,1:2]) %*% varimax(rawLoadings)$rotmat print(scores[1:5,]) # Scores computed via rotating the scores這會產生三個相同的輸出：
1 -1.083475 0.9067262 2 -1.377536 -0.2648876 3 -1.419832 0.1165198 4 -1.471607 -0.1474634 5 -1.095296 1.0949536
注意： R 中的
varimax函數默認使用normalize = TRUE, eps = 1e-5參數（參見文檔）。eps在將結果與 SPSS 等其他軟件進行比較時，可能需要更改這些參數（降低容差並註意 Kaiser 歸一化）。我感謝@GottfriedHelms 讓我注意到這一點。[注意：這些參數在傳遞給varimax函數時起作用，但在傳遞給psych::principal函數時不起作用。這似乎是一個將被修復的錯誤。]