如何生成具有特定均值的 1 到 4 之間的隨機整數？
我需要在 中生成 100 個隨機整數
R，其中每個整數介於 1 和 4 之間（因此為 1、2、3、4），並且平均值等於特定值。如果我在 1 和 5 之間繪製隨機統一數字並得到
floor，我的平均值為 2.5。x = floor(runif(100,min=1, max=5))例如，我需要將平均值固定為 1.9 或 2.93。
我想我可以生成添加到 100 * 均值的隨機整數，但我不知道如何限制為 1 到 4 之間的隨機整數。
我同意 X’ian 的觀點，即問題未明確。然而，有一個優雅的、可擴展的、高效的、有效的和通用的解決方案值得考慮。
因為樣本均值和样本大小的乘積等於樣本總和，所以問題涉及生成隨機樣本 n 集合中的值 1,2,…,k 那筆錢 s （假設 n≤s≤kn, 當然）。
為了解釋所提出的解決方案，並且我希望證明**優雅的說法，**我提供了這個採樣方案的圖形解釋。佈置一個網格 k 行和 n 列。選擇第一行中的每個單元格。隨機（和統一）選擇 s−n 行中剩餘的單元格 2 通過 k. 觀察的價值 i 在樣本中是在列中選擇的單元格數 i:
這 4×100 網格由未選定單元格處的黑點和選定單元格處的彩色補丁表示。它被生成以產生平均值 2, 所以 s=200. 因此， 200−100=100 細胞在頂部隨機選擇 k−1=3 行。顏色代表每列中選定單元格的數量。有 28 那些， 47 雙打， 22 三分球，和 3 四肢。有序樣本對應於列中的顏色序列 1 通過列 n=100.
為了演示可擴展性和效率，這裡有一個
R根據此方案生成樣本的命令。問題涉及案件 k=4,n=100 和 s 是 n 乘以所需的樣本平均值：tabulate(sample.int((k-1)*n, s-n) %% n + 1, n) + 1因為
sample.int需要 O(s−n) 時間和 O((k−1)n) 空間，並且tabulate需要 O(n) 時間和空間，這個算法需要 O(max(s−n,n)) 時間和 O(kn) 空間：這是可擴展的。和 k=4 和 n=100 我的工作站只需要 12 微秒來執行這個計算：這很有效。（這裡是對代碼的簡要說明。注意整數 x 在 1,2,…,(k−1)n 可以唯一地表示為 x=nj+i 在哪裡 j∈0,1,…,k−2 和 i∈1,2,…,n. 該代碼採用了這樣的示例 x, 將他們轉換為他們的 (i,j) 網格坐標，每個計算多少次 i 出現（範圍從 0 通過 k−1 ) 並添加 1 每個計數。）
為什麼這可以被認為是有效的？一個原因是這種抽樣方案的分佈特性很容易計算出來：
- 它是*可交換的：*任何樣本的所有排列都是等可能的。
- 價值的機會 x∈1,2,…,k 出現在位置 i, 我會寫成 πi(x), 通過基本的超幾何計數參數獲得πi(x)=(k−1x−1)((n−1)(k−1)s−n−x+1)(n(k−1)s−n).
例如，與 k=4, n=100, 和一個平均值 2.0 （以便 s=200 ) 機會是 π=(0.2948,0.4467,0.2222,0.03630), 與上述樣本中的頻率非常吻合。以下是圖表 π1(1),π1(2),π1(3), 和 π1(4) 作為總和的函數：
- 價值的機會 x 出現在位置 i 而價值 y 出現在位置 j 類似地發現為πij(x,y)=(k−1x−1)(k−1y−1)((n−1)(k−1)s−n−x−y+2)(n(k−1)s−n).
這些概率 πi 和 πij 使人們能夠將Horvitz-Thompson 估計量應用於這種概率抽樣設計，併計算各種統計量分佈的前兩個矩。
最後，該解決方案是通用的，因為它允許簡單、易於分析的變化來控制採樣分佈。例如，您可以選擇網格上每行具有指定但不相等概率的單元格，或者使用類似甕的模型來隨著採樣的進行修改概率，從而控制列計數的頻率。
