如何執行等距對數比變換
我有關於運動行為（睡眠、久坐和進行體育活動的時間）的數據，總和約為 24（以每天的小時數為單位）。我想創建一個變量來捕獲在這些行為中花費的相對時間——有人告訴我，等距對數比變換可以實現這一點。
看起來我應該在 R 中使用 ilr 函數，但找不到任何帶有代碼的實際示例。我從哪裡開始？
我的變量是睡眠時間、平均久坐時間、平均平均輕度體育活動、平均中等體育活動和平均劇烈體育活動。睡眠是自我報告的，而其他的則是加速度計數據有效天數的平均值。因此，對於這些變量，案例的總和並不完全是 24。
我的猜測：我在 SAS 工作，但看起來 R 會更容易用於這部分。因此，首先導入僅包含感興趣變量的數據。然後使用 acomp() 函數。然後我無法弄清楚 ilr() 函數的語法。任何幫助將非常感激。
ILR（等距對數比）變換用於成分數據的分析。任何給定的觀察結果都是一組總和為單位的正值，例如混合物中化學物質的比例或在各種活動中花費的總時間的比例。總和不變量意味著雖然可能有 $ k\ge 2 $ 每個觀察的組成部分，只有 $ k-1 $ 功能獨立的值。（在幾何上，觀測值位於 $ k-1 $ -維單純形 $ k $ 維歐幾里得空間 $ \mathbb{R}^k $ . 這種簡單的性質體現在如下所示的模擬數據散點圖的三角形中。）
通常，當對數轉換時，組件的分佈會變得“更好”。在取對數之前，可以通過將觀察中的所有值除以它們的幾何平均值來縮放這種轉換。（等效地，任何觀察中數據的對數都通過減去它們的平均值來居中。）這被稱為“居中對數比率”轉換，或 CLR。結果值仍然位於超平面內 $ \mathbb{R}^k $ ，因為縮放會導致對數之和為零。ILR 包括為此超平面選擇任何正交基： $ k-1 $ 每個轉換後的觀察坐標成為其新數據。等效地，超平面被旋轉（或反射）以與消失的平面重合 $ k^\text{th} $ 坐標和一個使用第一個 $ k-1 $ 坐標。（因為旋轉和反射保持距離，所以它們是等距的，因此該過程的名稱。）
Tsagris、Preston 和 Wood 指出“[旋轉矩陣]的標準選擇 $ H $ 是從 Helmert 矩陣中刪除第一行得到的 Helmert 子矩陣。"
赫爾默特矩陣 $ k $ 以簡單的方式構建（例如，參見 Harville 第 86 頁）。它的第一行是所有 $ 1 $ s。下一行是可以與第一行正交的最簡單的行之一，即 $ (1, -1, 0, \ldots, 0) $ . 排 $ j $ 是與所有前面的行正交的最簡單的行之一：它的第一個 $ j-1 $ 條目是 $ 1 $ s，保證它與行正交 $ 2, 3, \ldots, j-1 $ , 及其 $ j^\text{th} $ 條目設置為 $ 1-j $ 使其與第一行正交（即，其條目的總和必須為零）。然後將所有行重新縮放為單位長度。
在這裡，為了說明模式，是 $ 4\times 4 $ Helmert 矩陣在其行被重新縮放之前：
$$ \pmatrix{1&1&1&1 \ 1&-1&0&0 \ 1&1&-2&0 \ 1&1&1&-3}. $$
（編輯於 2017 年 8 月添加）這些“對比”（逐行閱讀）的一個特別好的方面是它們的可解釋性。第一行被刪除，離開 $ k-1 $ 剩餘的行來表示數據。第二行與第二個變量和第一個變量之間的差異成正比。第三行與第三個變量和前兩個變量之間的差異成正比。一般來說，排 $ j $ ( $ 2\le j \le k $ ) 反映變量之間的差異 $ j $ 以及它之前的所有變量，變量 $ 1, 2, \ldots, j-1 $ . 這留下了第一個變量 $ j=1 $ 作為所有對比的“基礎”。在通過主成分分析 (PCA) 遵循 ILR 時，我發現這些解釋很有幫助：它可以根據原始變量之間的比較，至少粗略地解釋載荷。
R我在下面的實現中插入了一行ilr，它為輸出變量提供了合適的名稱來幫助解釋。（編輯結束。）由於
R提供了contr.helmert創建此類矩陣的函數（儘管沒有縮放，並且行和列被否定和轉置），因此您甚至不必編寫（簡單）代碼即可。使用它，我實現了 ILR（見下文）。為了鍛煉和測試它，我生成了 $ 1000 $ 從 Dirichlet 分佈中獨立抽取（帶參數 $ 1,2,3,4 $ ) 並繪製了它們的散點圖矩陣。這裡， $ k=4 $ .
這些點都聚集在左下角附近並填充其繪圖區域的三角形斑塊，這是組成數據的特徵。
他們的 ILR 只有三個變量，再次繪製為散點圖矩陣：
這確實看起來更好：散點圖獲得了更具特徵的“橢圓雲”形狀，更適合二階分析，例如線性回歸和 PCA。
Tsagris*等人。*通過使用 Box-Cox 變換來概括 CLR，該變換概括了對數。（日誌是帶有參數的 Box-Cox 變換 $ 0 $ .) 它很有用，因為正如作者（正確地恕我直言）所說，在許多應用程序中，數據應該確定它們的轉換。對於這些 Dirichlet 數據，參數為 $ 1/2 $ （介於無轉換和對數轉換之間）效果很好：
**“美麗”指的是這張圖片允許的簡單描述：**不必指定每個點雲的位置、形狀、大小和方向，我們只需要觀察（非常近似）所有云都是具有相似半徑的圓形. 實際上，CLR 已將需要至少 16 個數字的初始描述簡化為僅需要 12 個數字的描述，而 ILR 已將其減少到僅需要 4 個數字（三個單變量位置和一個半徑），代價是指定 ILR 參數為 $ 1/2 $ ——第五個數字。當真實數據發生如此戲劇性的簡化時，我們通常認為我們正在做某事：我們已經發現或獲得了洞察力。
這種泛化在下面的
ilr函數中實現。產生這些“Z”變量的命令很簡單z <- ilr(x, 1/2)Box-Cox 變換的一個優點是它適用於包含真零的觀察：只要參數為正，它仍然被定義。
參考
Michail T. Tsagris、Simon Preston 和 Andrew TA Wood，基於數據的成分數據功率轉換。 arXiv:1106.1451v2 [stat.ME] 2011 年 6 月 16 日。
David A. Harville，從統計學家的角度看矩陣代數。施普林格科學與商業媒體，2008 年 6 月 27 日。
這是
R代碼。# # ILR (Isometric log-ratio) transformation. # `x` is an `n` by `k` matrix of positive observations with k >= 2. # ilr <- function(x, p=0) { y <- log(x) if (p != 0) y <- (exp(p * y) - 1) / p # Box-Cox transformation y <- y - rowMeans(y, na.rm=TRUE) # Recentered values k <- dim(y)[2] H <- contr.helmert(k) # Dimensions k by k-1 H <- t(H) / sqrt((2:k)*(2:k-1)) # Dimensions k-1 by k if(!is.null(colnames(x))) # (Helps with interpreting output) colnames(z) <- paste0(colnames(x)[-1], ".ILR") return(y %*% t(H)) # Rotated/reflected values } # # Specify a Dirichlet(alpha) distribution for testing. # alpha <- c(1,2,3,4) # # Simulate and plot compositional data. # n <- 1000 k <- length(alpha) x <- matrix(rgamma(n*k, alpha), nrow=n, byrow=TRUE) x <- x / rowSums(x) colnames(x) <- paste0("X.", 1:k) pairs(x, pch=19, col="#00000040", cex=0.6) # # Obtain the ILR. # y <- ilr(x) colnames(y) <- paste0("Y.", 1:(k-1)) # # Plot the ILR. # pairs(y, pch=19, col="#00000040", cex=0.6)
