贏得比賽的概率 K 場比賽最好的系列 N 場比賽

考慮體育/競賽中的“五局三勝”系列賽，第一支贏得 3 場比賽的球隊將贏得該系列賽。所以N=5，K=3。其中概率w = p(team A winning game)和l = p(team A losing game)。假設這些概率在系列期間沒有變化。

當我第一次想到這一點時，我錯誤地嘗試添加贏得 3/3、3/4 和 3/5 遊戲的個人概率：

wrong = function(w) {      
 p = dbinom(3,3,w) + dbinom(3,4,w) + dbinom(3,5,w)       
 return(p)
}

wrong(.9)
# 1.0935

顯然，問題在於存在冗餘，因為連續 3 場獲勝，WWW 使任何第 4 場和第 5 場比賽的結果都過時了。即 WWWLW 和 WWWWL 是不可能的。

去除冗餘後，這些是可能的排列：

win = function(w) {
 l = 1-w
 p = w*w*w + 
   w*w*l*w + w*l*w*w + l*w*w*w + 
   l*l*w*w*w+ l*w*l*w*w+ l*w*w*l*w+  
   w*l*l*w*w+ w*l*w*l*w+
   w*w*l*l*w

 return(p)
}

win(.9)
# 0.99144

win(.9) + win(.1)
# 1

手動輸入排列會很快失去控制，即贏得 N = 7 個遊戲系列、9 個遊戲系列等。通常，wrong()需要如何修改函數才能獲得正確的概率？

對於這個問題，您可以使用負二項分佈。

如果 X 分佈為 NegBin(n, w)，則如果贏得任何給定遊戲的概率為 w，則 X 是玩家在贏得 n 個遊戲之前輸掉的遊戲數。

所以，dnbinom(q = 2, size = 2, prob = w)是玩家在贏得 2 場比賽之前總共輸掉 2 場比賽的概率。

然後，pnbinom(q = 2, size = 3, prob = w)是玩家在贏得 3 場比賽之前輸掉 2 場或更少的概率。這等於贏得 5 個系列中的 3 個的概率。

一般來說，贏得最佳 n-out-of-(2n-1) 系列的概率可以用 來計算pnbinom(q = n-1, size = n, prob = w)。

## w is the probability of winning any individual game
## k is the number of wins needed to win the series (3 in a best 3 of 5 series)
win <- function(w, k){
 return (pnbinom(q = k - 1, size = k, prob = w))
}

win(0.9, 3)
## 0.99144

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/458802